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1、Schmidt正交化 及正交方阵,. 向量的内积及其性质,向量内积的定义,设,是两个n维向量,令,称是向量X和向量Y的内积。,2. 内积的性质,(1) = ,(3) = + ,(2) = ,3. 向量的范数,称,为向量X的长度 (范数),记为|X|,称|X Y|为X与Y之间的距离.,证明：,令 f(t) = ，,显然函数f(t) 0且,f(t) = + ,= + t + t + t2,= |X|2 + 2t + t2|Y|2,从而有：,即,证毕,称,为向量X与之间的夹角.,即,特别,4. 范数的性质,(5) |X| 0, 且 |X| = 0 X = 0,证明: 由,再由,得到:,即:,证毕,例
2、1. 设X, Y, Z皆是n维向量, 试证明三角不等式:,证明:,例2. 设X, Y是两个相互正交的n维向量, 试证明勾股定理:,证明:,定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。,证明：,设1, 2, , m是一组两两相互正交的非,零向量.,1, 2, , m是一组数，,11 + 22 + + mm = 0,使得,则,0 = ,= j ,又|j|2 0, 所以j = 0, j = 1, 2, , m,从而1, 2, , m线性无关,证毕,二. 向量空间的标准正交基,标准正交基的定义及其性质,定义:设V是一个向量空间，1, 2, , m是V的一组基，若满足：,1）1, 2, , m两两相互正交
3、,2）|j| = 1, j = 1, 2, , m,则称1, 2, , m是向量空间V的一组标准正交基.,定理2 若1, 2, , m是向量空间V的一组标准正交基， = 11 + 22 + + mm是V中的一个向量，则j = , j = 1, 2, , m,证明：,2. Schmidt正交化过程,定理3 若V是Rn的一个非零子空间，则V一定有标准正交基 .,证明：,设1, 2, , m是V的一组基。,取,取,取,设1, 2, , s, s m,是两两正交的单位向量,并且该向量组与1, 2, , s等价.,取,; 当 j = 1, 2, , s 时,显然, 1, 2, , s, s+1是两两正交
4、的单位向量,并且该向量组与1, 2, , s, s+1等价.,经过若干次后我们就可以得到V的一组标准正交基1, 2, , m。,1 = 1,证毕,Schmidt正交化过程,k = 1, 2, , m-1,例3. 把列向量组1 = (1, 0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 0, 1)T, 3 = (0, 1, 1, 1)T正交化。,解:,令,1 = 1,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,3. 向量在向量空间上的正交投影,定义: 设V是Rn的一个非平凡的子空间,Rn，若在V中存在某向量，使得 - 与V中任何一个向量皆正交，则称为向量在向量空间V中的正交投影向量。,定理4. 设V是
5、Rn的一个非平凡的子空间, Rn,则在向量空间V中的正交投影向量存在且唯一.,证明：,设1, 2, , m是向量空间V的一组标准正,交基.,取,则 = - ,= - ,= 0，,说明向量 - 与V的标准正交基1, 2, , m中的任何一个向量皆正交，,从而与V中的任何一个向量皆正交。,故是向量在向量空间V中的正交投影向量。,若也是向量在向量空间V中的正交投影向量，,由于:,= + ,= 0，j = 1, 2, , m，,以及V，V的维数等于m，,推知 = ,即, 在向量空间V中的正交投影是唯一的。,定理5 设V是Rn的一个非平凡的子空间，Rn，是在向量空间V中的正交投影向量，则对于V中的任何一
6、个向量，只要 ，就有：| - | | - |,证明：,设是在向量空间V中的正交投影向量，则对于V中的任何一个向量，只要 ，就有：,| - |2 = |( - ) + ( - )|2,= | - |2 + | - |2, | - |2.,即：| - | | - |,证毕,三. 正交方阵及其性质,定义：设A是一个n阶方阵，若ATA = En则称A为一个n阶正交矩阵。,1. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。,2. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准正交基.,3. 若A是一个正交矩阵，则|A|2 = 1,定义: 若A是一个正交矩阵，则称线性变换Y=AX为正交变换。,正交变换有如下性质：设Y1=AX1, Y2 = AX2,1. = ,2. | Y1| = | X1|,3. Y1与Y2之间的夹角等于X1与X2之间的夹角,小结,n维向量之间的内积; n维向量的范数; 两个n维向量之间的距离;夹角. Schimidt正交化过程 向量在向量空间上的正交投影及其性质 正交矩阵、正交变换,