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1、1,第一次课、常用非初等函数,内容: 一课程简介 二标准形式的一维非初等函数 三一维非初等函数的一般形式 四常用二维非初等函数,2,光学,一课程简介,应用光学,几何光学,物理光学,量子光学,也称为波动光学,光的电磁理论,光的叠加和分解,光的干涉,光的衍射,光的偏振及光在各向异性的媒质中传播时所表现出的现象,光的散射、色散和吸收,光的产生,光的接收,3,本课程为物理光学,教材：谢敬辉、赵达尊、阎吉祥，物理光学教程；北京理工大学出版社，2005年1月,参考书： 1、梁铨廷物理光学，电子工业出版社，2008.5第3版版； 2、刘晨主编物理光学，合肥工业大学出版社 2007.5； 3、赵凯华、钟锡华光
2、学，北京大学出版社 2001.6； 4、潘笃武、贾玉润、陈善华光学，复旦大学出版社1997.12； 5、Hecht Zajac Optics Addison-Wesley Publishing Copmpany 1974.2,4,主要讲述的内容： 1光的电磁波性质 2光的叠加和分解 3光的干涉特性 4光的衍射特性 5光的偏振特性(贯穿在课程当中) 6傅立叶光学的一点点基础知识(贯穿在课程当中),5,二标准形式的一维非初等函数,1矩形函数 又称门函数，记为rect(x)或(x),其定义如下：,在光学上，常用矩形函数表示狭缝形孔径和矩形光源等。,由图形可以看出，矩形函数曲线下面积为1，即：,6,2
3、三角形函数,三角形函数记为tri(x)或(x)。,或者是：,其定义为：,7,三角形函数也具有曲线下的面积等于1的性质，即满足：,8,3符号函数,符号函数又称为正负号函数，记为sgn(x)。,其定义为：,9,4阶跃函数,阶跃函数又称为海维塞德(Heaviside)函数，记为step(x)或H(x)。,其定义为：,在光学上，常用阶跃函数表示刀口或直边衍射物体； 在电子学中，则经常用来表示一个开关信号。,10,5sinc函数,sinc函数记为sinc(x),其定义为：,如果将自变量换乘角度，则可以写成：,这种形式比较常用。,11,sinc函数的图形由宽度为2的中央主瓣和一系列宽度为1的旁瓣组成。,图
4、5 sinc函数,sinc函数也具有曲线下面积为1的性质，即满足：,12,6sinc2函数,sinc2函数的定义直接由sinc函数的定义给出，对于常用的sinc函数定义，有：,13,图6 sinc2函数,在光学上，sinc2函数表示单缝夫琅和费衍射的强度分布。,14,7高斯函数,高斯函数记为Gaus(x)，其定义为：,图7 高斯函数Gaus(x),15,高斯函数在概率论和数理统计中表示正态分布事件的分布函数。在线性系统分析中，高斯函数是很有用的数学工具，它具有一些特殊的性质：,*其次，高斯函数是一个自傅立叶变换函数，即它的傅立叶变换仍然是个高斯函数。,*首先，它的各阶导数都是连续的，因此是一个
5、良好的平滑函数；,16,七种非初等函数的定义； 严格来讲其中的sinc函数和高斯函数并不属于非初等函数，但是它们在描述光场及其变换的作用与其它非初等函数类似； 在某些非初等函数的定义式中，给出了间断点处的函数值，规定它等于该间断点处左、右极限的平均值，在实际运算中，可以不考虑间断点处的函数值，即可以将这些点看作连续点。 如对rect(x)进行积分，其积分域可取为：,小结：,17,在描述复杂的物理过程时，常常需要将标准形式的非初等函数进行比例缩放、平移、反射或四则运算，构成复杂的函数形式。,1比例缩放、平移和反射,a为纵向缩放因子，确定函数fold(x)的纵向缩放比例和反射(对于对称函数而言，其
6、反射轴为fnew(x)=b)；,b为纵向平移因子；,x0表示横向平移因子；,fnew(x)一般形式的非初等函数,fold(x)表示标准形式的非初等函数,三一维非初等函数的一般形式,18,19,例如，将标准形式的矩形函数进行比例缩放、平移和反射。 一般形式的矩形函数表示为：,20,例1、画出函数,的图形。,解：为了说明各个参数的作用，作图可分为几步完成,图9 具体阶跃函数的作图,21,某些复杂的物理过程可以通过非初等函数之间的四则运算和复合来描述。,例如矩形调制波可表示为：,2非初等函数的四则运算和复合,22,四常用二维非初等函数,1、直角坐标系中的二维非初等函数 2、极坐标系中的二维非初等函数
7、 3、二维非初等函数的一般形式,如果二维函数f(x，y)可以表示为 f(x，y)=f1(x)f2(y)的形式，则称f(x，y)为可分离变量函数。将二维可分离变量作为一维函数来处理，可以使运算过程简化。,二维物理量可以在不同的坐标系中来描述，而选择坐标系的原则是有利于简化运算，即： 描写二维某物理量的二维函数可分离变量函数， 非对称性的物理量通常在直角坐标系中描述；而具有圆对称分布的物理量则最好在极坐标系中描述。,例如，rect(x，y) rect (r，),23,(1)二维矩形函数，定义式为：,在光学问题中，常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。,可分离变量函数,1、直角坐标系中的二维
8、非初等函数,24,(2)二维三角形函数 标准形式的二维三角形函数的定义为：,它的图形在x=0或y=0的截面是一维的三角形函数，在x=y的截面则是一对抛物线，构成一个曲线四棱锥图形,25,(3)二维阶跃函数 二维阶跃函数又称为直边函数，它的定义式为： f(x，y)=step(x),在光学问题中，常用二维阶跃函数表示无穷大半平面的振幅透射系数或刀口滤波器函数。,26,(1)二维高斯函数： 由于是圆对称函数，因此可以用极坐标表示：,2、极坐标系中的二维非初等函数,所以二维高斯函数分布与无关。,27,圆域函数又称为圆柱函数，记为circ(r)或cycl(r)。 在极坐标系中，圆域函数的定义为：,圆域函
9、数在直角坐标系中的定义为：,在光学中，圆域函数常常用来描述均匀照明圆形孔径的透射系数。,(2)圆域函数,28,3二维非初等函数的一般形式,*下面举例说明。,*和一维非初等函数的标准形式类似，通过平移和比例缩放，上面几种二维非初等函数的标准形式可以衍生出复杂的二维非初等函数，其规则和一维的情形相同。,*但是，二维非初等函数可以通过自变量的坐标线性变换，产生更复杂的函数。这在研究复杂的光学变换中是很有用处的。,29,g(x，y)=rect(x),令x=ax+by+c,(1)二维狭缝函数的坐标变换,g(x，y)=rect(ax+by+c),30,g(x，y )=rect(x)rect(y),(2)二维矩形函数的坐标线性变换,31,平行四边形的斜方柱。,a10，a20；b10,32,本次课总结: *标准形式的一维非初等函数 *一维非初等函数的一般形式 *常用二维非初等函数,作业：2.1,