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1、第一节 离散型随机变量及其分布律,一、随机变量,二、离散型随机变量,三、二点分布,四、二项分布,五、泊松分布,一、随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,1、有些随机试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份石家庄的最高温度；,每天从石家庄下火车的人数；,昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,二、随机变量的概念,例1、一袋中有3个黑
2、球，2个白球，任取3只。观察3只球中黑球的个数。,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,例2、50件产品中有8件次品，现取出6件。,设6件中次品的个数为X。,X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,表示“全是正品”,例3、上午8:009:00在路口观察。令Y表示汽车数。,例4、观察一生物的寿命（小时）令Z表“该生物的寿命。,随机变量通常用大写字母 X,Y,
3、Z.,定义1 ：某些随机变量X 的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量 .,(1) X 可能取的值是0,1,2 ;,(2) 取每个值的概率为:,看一个例子,三、离散型随机变量,其中 (k=1,2, ) 满足性质：,（2）,定义2 ：设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称,为离散型随机变量 X 的分布律.,离散型随机变量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例. 某篮球运动员
4、投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解： X可取0、1、2为值,P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1,常常表示为：,这就是X的分布律.,例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,PX=1=P(A1)=p,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,可见,这就是求所需射击发数X的分布律.,四、（
5、0-1）分布：（也称两点分布、伯努利分布）,随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：,称 X 服从参数为p的两点分布，记作,例、15件产品，其中4件次品，从中取1件。令X表取出的次品数。,如：掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,1、 一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的 结果：A 或 .,这样的试验E称为伯努利试验 .,五.伯努利试验和二项分布,“重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.,将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 .,“独立”是指各 次试验的结果互不影响 .,看一个试验:将一枚均匀
6、骰子抛掷3次.,X的分布律是：,令X 表示3次中出现“4”点的次数,2、二项分布,称 X 服从参数为n和p的二项分布，记作,定义：若随机变量X的分布率为,例5 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设X为所取的3个中的次品数，,于是，所求概率为：,则,X B(3,0.05)，,若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.,
7、请注意：,例6、在一大批产品，有10%的次品，进行重复抽样检查，共取出5件，求恰好抽到2件次品和至多有2件次品的概率？,解：,设取到的次品数是X，则,（1）,（2）,例7 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.,解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .,X B (3, 0.8)，,PX 1 =PX=0+PX=1,=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，,且P(A)=p ， ；
8、,（3）各次试验相互独立.,可以简单地说，,二项分布描述的是n重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律 .,六、二项分布的泊松近似,当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，,我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面，我们将介绍二项分布的正态近似.,或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .,近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.,在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.,二、泊松分布,五、泊松分布,定义：设随机变量 X 所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作,1）参数 值；,2）概率,例9、一页书上印刷错误的个数X服从参数 的泊松分布，求任取1页书上至多有1个印刷错误的概率。,解：,当 n 很大，p 很小时有以下近似式：,其中,练习题,