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1、1,(2)说明,知识回顾,(1)定义,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况.,2,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,3,离散型随机变量的分布函数,(4)重要公式,4,思路 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b, 再用已确定的分布函数来求分布律.,解,练习,5,6,从而 X 的分布律为,7,2.3 连续型随机变量的概率密度,连续型随机变量的概念与性质,一些常用的连续型随机变量,8,一、连续型随机变量的概念与性质,定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在 非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的
2、 概率密度函数,简称概率密度.,记为 ：X f(x) ，其图象称为密度曲线。,说明： 连续型随机变量的分布函数为连续函数。,9,概率密度 f(x) 具有以下性质：,前两个条件是概率密度的 充分必要条件,X落在 (x1,x2上概率是概 率密度在(x1,x2上的定积分值。,10,事实上，,既有,5.设X是连续型随机变量, 则对任意的实数a, 有,注意:连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机 变量分布律的性质非常相似，但是密度函数不是概 率！,11,说明：,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它 在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是 它在某一区间上取值的问题,此公式非常重要！,
3、若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任 意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限 区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为,12,例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解, 由密度函数的性质, 有,13,例2 某电子元件的寿命 X（小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的 前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,解 设 A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,设Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时的元件数，则,故所求概率为,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验,14,例3 设随
4、机变量X的密度函数为,15,例 3（续）,16,例4 设有随机变量X的概率密度函数为,求1) A值.,解,2）X的分布函数.,3）P1.5X2.5,1) 由密度函数的性质, 有,2) X的分布函数,或,3),17,二、一些常用的连续型随机变量,1. 均 匀 分 布,定义 若随机变量X的密度函数为,记作 X U a , b,X的分布函数为：,则称随机变量X服从区间a,b上的均匀分布.,18,显然，,19,均匀分布的概率背景,如果随机变量X服从区间a,b上的均匀分布,则随机变量X在区间a,b上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比,与该区间的位置无关.,此时可认为随机变量X在区间a,b上取
5、值是等可能的.,20,例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率,解：,令：B=候车时间不超过5分钟 ,则,乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量,设该乘客于7时X 分到达此站, X 服从区间0,30上的均匀分布,21,例 6,解 随机变量Y的密度函数为：,22,2.指 数 分 布,定义 若随机变量X的密度函数为,记为：,其分布函数为,说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如： 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，指数分布在排队论与可靠性理论中
6、有广泛的应用。,23,例 7,令：B= 等待时间为1020分钟 ,则,设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待1020分钟的概率.,X的密度函数为,X(分钟)是服从参数为 =1/10的指数分布,24,3.正 态 分 布,(1) 概率密度函数,如果连续型随机变量X的概率密度函数为,(其中(-0),则称随机变量X服从参数为,2的 正态分布,由称高斯分布.记为:XN(,2),25,特别是,当=0,2=1时称正态分布为标准正态分,0,x,f (x),其图形如右,布.记为:N(0,1),标准正态分布的概率密度函数为:,26,密
7、度函数的验证,只验证,见高等数学（下）二重积分,27,由正态分布密度函数的图形知：,x,f (x),0,(1) 曲线关于直线x=对称,这表明：对任意的h0,有,(2) 当x=时, f(x)取到最大值,28,(3) 曲线y=f(x)在x=+, x=-时处有拐点;曲线以x轴为渐近线.,(4) 若固定,改变的值,则y=f(x)的图形沿x轴平行移动,但图形的形状不改变.,(5) 若固定,改变的值,当越小,则y=f(x)的图形越陡,即X落在值附近的概率越大;反之,当越大,则y=f(x)的图形越平缓,表明X取值越分散.,x,f (x),0,29,（2）分布函数,且有,30,证明：由公式有，,作变换t =-
8、，dt = -d得,31,说明,(2) 对于任何实数x，有,当0x4 时，从附表直接只查(x).,当x4 时，(x)=1;当-4x时，(x)=0.,当-4x0 时，(x)=1-(-x).,32,(3) 标准正态分布与正态分布的关系,33,该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法,34,该公式给出了一般正态分布概率函数值的求法,35,例8 设随机变量 XN(0,1) ,试求: (1) P1X2;,36,例9 设随机变量XN(2,9) 试求:(1) P1X5;,37,XN(2,9),38,39,规则（3 标准差规则）,40,4*. -分布.,41,- 函 数,42,说明：,我们称此分布为排队论中的n阶Erlang (爱尔朗）分布，,43,我们称此分布为自由度为n的 -分布， 它 为数理统计中常见的统计量之一，,44,4 正态分布的密度函数及几何性质。 5 一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。 6 会利用正态分布密度函数的性质求积分。,小结： 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。 特别是,2 均匀分布的定义及性质。 3 指数分布的定义。,45,作业：,P57,20,16,21(12),23,25,26,29,