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1、离散型随机变量及其分布列,复习回顾,引例： （1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ （2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？ （3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？ 思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？,1，2，3，4，5，6,0分，1分，2分,正面向上，反面向上,能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢？,分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的 所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出现的。,在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果都用 一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是 这些数字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值，
2、则这个变量就叫 做随机变量，常用X、Y、x、h 来表示。,一、随机变量的概念：,按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量 与函数有类似的地方吗？,思考,随机变量是试验结果与实数的一种对应关系，而 函数是实数与实数的一种对应关系，它们都是一种映射,在这两种映射之间， 试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值结果相当于函数的值域。 所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。,例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个， 则其中所含白球的个数x 就是一个随机变量，求x 的取值 范围，并说明x 的不同取值所表示的事件。
3、,解： x 的取值范围是0，1，2，3 ，其中 x =0表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”； x =1表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”； x =2表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”； x =3表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；,变题：x 3在这里又表示什么事件呢？,“取出的3个球中，白球不超过2个”,写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自 所表示的随机试验的结果：,练一练,（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张， 被取出的卡片的号数x ； （2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y； （3）某城市1天之中发生的火警次数X； （4）某品牌的电灯泡的寿命X； （5
4、）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场 任意一棵树木的高度x,（x=1、2、3、10）,（Y=2、3、12）,（X=0、1、2、3、）,0，+),0.5，30,思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？,二、随机变量的分类：,1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一 列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 （如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等） 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 （如灯泡的寿命，树木的高度等等）,注意： （1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量； （2）变量离散与否与变量的选取有关； 比如：
5、对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量,下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？ （1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个 电线铁站，这些电线铁站的编号； （2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量 与规定量之差； （3）某城市1天之内的温度； （4）某车站1小时内旅客流动的人数； （5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数. （6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中， 某同学可能取得的等级。,小练一下,练习一:写出下列各随机变量可能的取值:,(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数 ,(2)一个袋中装有5个白球和5个黑
6、球，从中任取3个，其中所含白球数 ,（3）抛掷两个骰子，所得点数之和 ,(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数 ,(5)某一自动装置无故障运转的时间 ,(6)某林场树木最高达30米，此林场树木的高度 ,离散型,连续型,（ 1、2、3、10）,（ 内的一切值）,（ 内的一切值）,（ 0、1、2、3）,注:随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系.,1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ),(A)两次出现的点数之和,(B)两次掷出的最大点数,(C)第一次减去第二次的点数差,(D)抛掷的次数,D,2.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买50只,
7、但不得超过80只.商厦有优惠规定：一次购买小于或等于50只的不优惠.大于50只的，超出的部分按原价格的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数是一个随机变量，那么他所付款是否也为一个随机变量呢? 、有什么关系呢？,本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。,1.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为 ，则 所有可能值的个数是_ 个；“ ”表示 ,“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号”,9,答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六
8、种 结果之一，由已知得 ，也就是说“ 4”就是 “ 5”所以，“ 4”表示第一枚为6点，第二枚为1点,2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，试问: (1)“4”表示的试验结果是什么?(2)P (4)=?,1.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，试问: (1)“4”表示的试验结果是什么？ (2) P (4)=?,2.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变 量，则P(=12)=_（用式子表示）.,答:(1)因为一枚骰子
9、的点数可以是1，2，3，4，5，6六种 结果之一，由已知得 ，也就是说“ 4”就是 “ 5”所以，“ 4”表示第一枚为6点，第二枚为1点,1.随机变量是随机事件的结果的数量化,随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件。,随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f (x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量 的自变量是试验结果。,3. 若是随机变量，则=a+b（其中a、b是常数） 也是随机变量 ,2.随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。,若用X表示抛掷一枚质地均匀
10、的骰子所得的点数， 请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生 的概率是多少？ （1）X是偶数；（2） X3；,探究,解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6),P(X3)=P(X=1)+P(X=2),三、离散型随机变量的分布列：,一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x1，x2，xi，xn X取每一个xi (i=1，2，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：,为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. 有时为了表达简单，也用等式 P(X=xi)=Pi i=1，2，n 来表示X的分布列,离散型随机变量的分布列应注意问题：,1、分布列的构成：,（1）
11、列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率；,2、分布列的性质:,练习1.随机变量的分布为,解:(1)由离散型随机变量的分布性质有,练习2.,已知随机变量 的分布如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布,（1）求常数a;（2）求P(14),(2)P(14)=P(=2)+P(=3)=0.12+0.3=0.42,解：,由,可得,且相应取值的概率没有变化,练习2:已知随机变量 的分布如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,练习2:已知随机变量 的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布,两点分布与超几何分
12、布,两点分布的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖； 买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别； 投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究 如果随机变量X的概率分布为两点分布， 就称X服从两点分布 ( two point distribution)， 而称p=P (X = 1）为成功概率两点分布又称0一1分布 又只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ）试验 所以还称这种概率分布为伯努利分布其中：,示例：在掷一枚图钉的随机试验中，令,如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量 X 的分布 解：根据概率分布的性质，针尖向下的概率是（1-p），,则有随机变量 X 的分布是 像上面这样的
13、分布称为两点分布,举例说明：,例2、在掷一枚图钉的随机试验中，令,如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。,解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是，随机变量X的分布列是,像上面这样的分布列称为两点分布列。,如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。,例3、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球 除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到 黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.,解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1,从袋子中随机取出一球 所得分数
14、X的分布列为：,求离散型随机变量分布列的基本步骤：,（1）确定随机变量的所有可能的值xi,（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi,（3）列出表格,课堂练习：,0.3,0.16,P,3,2,1,0,-1,2、若随机变量的分布列如下表所示，则常数a=_,C,课堂练习：,0.88,思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。,解：因为同时取出3个球，故X的取值只能是1，2，3 当X=1时，其他两球可在剩余的4个球中任选 故其概率为 当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选， 故其概率为 当X=3时，只可能是3，4，5这种情况， 概率为,随机变量X的分布列为,思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。,例题分析：,