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1、2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义,.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； .掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； .通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题奠定基础,1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？,2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？,由于大陆和台湾没有直航，因此王先生春节回老家探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少?,A,B,C,1.位移,2.力的合成,数
2、的加法启发我们，从运算的角度看， 可以认为 是 的和，F可以认为是 的和，即位移、力 的合成可以看作向量的加法.,向量加法的几何运算法则,思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？,思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？,A,B,思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？,思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向 量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫 做向量的加法.上述求两个向
3、量和的方法，称为向量加法 的三角形法则.对于下列两个向量 ，如何用三角形 法则求其和向量？,思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？,M,C,E,O,图1,M,E,O,图2,思考6：人在河中游泳，人的游速为 水流速为 ，那么人在水中的实际速度 与 、 之间的关系如何？,思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量 ，如何用平行四 边形法则求其和向量？,B,A,O,C,思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和
4、向量，其作图特点分别如何？,三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.,例1.已知向量, 求作向量,作法1：在平面内取一点O，作,作法2：在平面内取一点O，作 以 OA、 OB为邻边做平行四边形OACB,连接OC,则,O,A,B,b,a,O,A,B,C,思考1：零向量 与任一向量 可以相加吗？,规定：,思考2：若向量 为相反向量，则 等于什么？反之 成立吗？,为相反向量,向量加法的代数运算性质,思考3：若向量 同向，则向量 的方向如何？若向 量 反向，则向量 的方向如何？,的方向与长度大的向量同向,同向,思考4：考察下列各图， 的大小关系如何？ 的大小关系如何？,A,B,C
5、,当且仅当 同向时取等号；,当且仅当 反向时取等号.,思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意 R， 都有 那么向量的加法也满足交换律吗？如何检 验？,B,C,A,O,思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，cR，都有（ab）c=a（bc）.那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？,C,B,A,O,例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）; （2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.,解：（1）如图所示, 表示船速, 表示水速，以AD、AB为邻边做平行四边形ABCD，则 表示船实际航行的速度.,答:船实际行驶速度的大小为5.4km/h,方向与水流速度间的夹角约为68.,.化简,