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1、2.3.3 向量数量积的坐标表示 与度量公式,问题： 如何用向量的长度、夹角反映数量积？ 如何用数量积、长度来反映夹角？ 向量的运算律有哪些？,练习1：已知|a|=1，|b|= ， (1)若ab，求ab； (2)若a、b的夹角为60，求|a+b|； (3)若ab与a垂直，求a与b的夹角.,45,练习2：设i，j为正交单位向量，则 ii=_ jj=_ ij=_,0,1,1,1.向量内积的坐标运算,abx1x2+y1y2.,若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则,推广1：设a=(x, y)，则|a|2=x2+y2或 (长度公式),推广2：设A(x1, y1) 、B(x2, y2)，则
2、 (距离公式),推广3： cos = （ ）(夹角公式),2. 向量垂直的充要条件,已知两个向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，那么,ab x1x2+y1y2=0,例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|，和,解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.,|a|=,|b|=,cos =,所以 =45,例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：ABC是直角三角形,证明：,=(1, 1),=(3, 3),所以,=3+3=0，,即ABAC， ABC是直角三角形.,例3. 已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0）
3、，求BAC的正弦值。,例4.已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 。,解：设所求向量为(x, y), 则,解得,所求向量为,例5已知点A（a，b）与点A（b，a）,求证直线y=x是线段AA的垂直平分线。,证明：设线段AA的中点是M(x, y)，依据中点公式，有,由此得x=y，点M在直线y=x上， 在直线y=x上任取一点P(x, x),所以,因此，直线y=x是线段AA的垂直平分线.,例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，向量kab与a+3b （1）平行；（2）垂直。,解：kab=(k2, 1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k2)+7=0,所以k=,（2）由向量垂直条件得7(k2) 3=0,所以k=,