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1、2.3 平面向量的基本定理及 坐标表示,2.3.1 平面向量基本定理,给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？,平面向量基本定理,如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2. 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,关于基底的几点说明：,向量的夹角:,夹角的范围：,注意:两向量必须是同起点的,已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2. 解：,如图在基底e1、e2下分解下列向量：,2.3.2平
2、面向量的正交分解及坐标表示,正交分解,把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.,我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？,向量的坐标表示,在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得a=xi+yj， 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y), 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 显然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).,如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出
3、它们的坐标. 解： a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).,在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标.,如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.,解： a=2e1+3e2=(2,3)， b=-2e1+3e2=(-2,3)， c=-2e1-3e2=(-2,-3)， d=2e1-3e2=(2,-3).,已知 是坐标原点，点 在第一象限， ，求向量 的坐标.,1 平面向量基本定理； 2 平面向量的正交分解； 3 平面向量的坐标
4、表示.,2.3.3平面向量的坐标运算,1 平面向量基本定理； 2 平面向量的正交分解； 3 平面向量的坐标表示.,已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，你能得出a+b，a-b，a的坐标吗？,a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j =(x1+x2,y1+y2). 同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)， a=(x1i+y1j)=x1i+y1j=(x1, y1)， 已知A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则 =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).,平面向量的坐标运算法则,（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量
5、相应坐标的和（差） （2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. （3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.,已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 解： a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)， a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)， 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).,已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标.,2.3.4平面向量共线的坐标表示,如何用坐标表示两个共线
6、向量？ 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b0， a与b共线，当且仅当存在实数，使a=b， 即(x1,y1)= (x2,y2)， x1=x2，y1=y2，消去后得，x1y2-x2y1=0.,已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a/b，求y. 解：a/b，4y-26=0，y=3。,已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的关系.,设线段两端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)， （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.,3,同理，如果说 那么点P的坐标是,已知a=(3,2)，b=(0,-1)，求-2a+4b，4a+3b的坐标. (-6,-8)，(12,5) 已知：A(2,3)，B(-1,5)，且 ， 求点C、D 、E的坐标.,已知三点A(1,1)，B(-1,0)，C(0,1)，求另一点D(x,y)，使 . 若三点A(1,1)，B(2,-4)，C(x,-9)共线，求x的值. x=3,已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求向量a、b的坐标. a=(-1,2)，b=(-2,-1),1平面向量的坐标运算法则 2平面向量共线的坐标表示 3 利用向量思想证明点共线的方法.,课本P111 练习1、2、3、4、5、6、7,