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1、2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,复习思考: 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘法 两个向量的数量积,运算结果,向量,向量,向量,？,平面向量的数量积,物理意义下的“功”,我们学过功的概念,一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算？,其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角.,功是一个_，是一个_，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.,标量,数量,两个非零向量 和 ，作 ，,则 叫做向量 和 的夹角,注意:在两向
2、量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.,向量的夹角的概念,与 同向,O,A,B,与 垂直,特别地,已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把 数量 叫做 与 的数量积（或内积）. 记作,规定:零向量与任一向量的数量积为0.,数量积的定义,1、这是一种新的运算法则，“ ”不能省略不写， 不能写成 ， 表示向量的另一种运算;,2、 是实数而不表示向量；,3、在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取 值范围是 .,说明：,例1已知|a |=5, |b |=4，a与b 的夹 角 ，求a b.,解： a b =|a | |b |cos,知3求四,法一：,法二：,注意:在两向量的夹角定义中, 两
3、向量必须是同起点.,思考1 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？,当 时，它为正值；,当 时，它为负值,当 时，它为0；,为锐角时，| b | cos0,为钝角时，| b | cos0,为直角时，| b | cos=0,B,B1,O,A,叫做向量 在 方向上（向量 在 方向上）的投影.,投影的概念,向量 与 的数量积等于 的长度 与 在 方向上投影 的积.,还有其它说法吗？,向量 与 的数量积等于 的长度 与 在 方向上投影 的积.,数量积的几何意义,B1,O,B1,O,数量积的 性 质,由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论?,知3求四,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,思考3 回顾实数运算中有关的运算律，你能推导 向量数量积的下列运算吗？,O,N,M,设向量 在 上的投影分别是OM、MN、 ON,思考4 下列两个运算律成立吗？,向量数量积的运算律,1.向量的夹角,2.向量的投影,3.向量的数量积的定义，几何意义.,（共起点）,4.向量数量积的性质,5.向量数量积的运算律,作业: 1、复习课本P103-105 2、课本P108 习题2.4 A组第2题,第3题,第6题 3、选做B组第1题,例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为i和j，若ab=2i8j，ab=8i16j， 求ab,例7 设 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ， ，试求的值 ,