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1、1,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 多个随机变量的函数的分布,2,3 .1 二维随机变量及其分布,二维随机变量,联合分布函数,离散型随机变量的联合分布律,连续型随机变量的联合概率密度,3,定义：设 E 是一个随机试验，样本空间为 S=e， X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的两个随机变量。称 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量， 或二维随机变量。一般用(X, Y) 或 (,) 示。,S,e,X(e),Y(e),一、二维随机变量,4,说明：,二维随机变量(X,Y)在几何上可看作平面上的随机点
2、。,(1) 二维随机变量也称二维随机向量,(2) 应将二维随机变量(X,Y)=(X(e),Y(e) eS,看作一个整体, X和Y之间是有联系的.,(3) 事件Xx,Yy表示事件Xx 和事件Yy的积.,5,例子,(1) 考察某地区15岁少年的身体状况,令:,X:该地区15岁少年的身高;,Y:该地区15岁少年的体重;,则(X,Y)就是一个二维随机变量.,(2) 考察某地区气候状况,令:,X:该地区温度;,Y:该地区湿度;,则(X,Y)就是一个二维随机变量.,6,二、联合分布函数,定义,设(X,Y)是二维随机变量，对于任意一对实,数（x,y ),均有,称二元函数F(x,y)为二元随机变量(X,Y)的
3、分布函数.,或称之为随机变量X和Y的联合分布函数。,既有,7,二维分布函数的几何意义,y,o,(x, y),(X, Y ),F(x,y)表示平面上的随机点(X,Y）落在以（x,y),一个重要的公式,y,x,o,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),为右上顶点的无穷矩形中的概率。,8,分布函数的性质：,（1）F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即,且对于任意固定的 y 和x ,有,对于任意固定的 x , 当 y1 y2时，,（3）F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0),对于任意固
4、定的 y , 当 x1 x2时，,即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,9,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性 质；可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性 质。那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数,10,n 维随机变量,设E是一个随机试验，S是其样本空间，,是定义在样本空间S上的n个随机变量.则称,为样本空间S上的n维随机变量.,11,n维随机变量的分布函数,设(X1,X2，,Xn)是一个n维随机变量.则对于任意一组,实
5、数(x1,x2，,xn),恒有,成立,则称此函数为n维随机变量(X1,X2，,Xn)的分布,函数.,说明:根据n维随机变量(X1,X2，,Xn)的取值情况,仍可分为离散型与非离散型-连续型随机变量.,12,三、二维离散型随机变量,1.定义：,若二维随机变量(X,Y)的取值是有限个或可列个,无穷数对,则(X,Y)为二维离散型随机变量.,设(X,Y)为二维离散型随机变量,其所有可能,取值为(xi,yj)(i=1,2,; j=1,2,),事件X=xi,Y=yj的概率,PX=xi,Y=yj=pij,则称pij=PX=xi,Y=yj (i=1,2,; j=1,2,)为二维离散型,随机变量(X,Y)的分布
6、律.,也称X与Y的联合分布律.,13,2.二维离散型随机变量的联合分布律,X与Y的联合分布律可用表格形式表示,14,3.联合分布函数,设(X,Y)的联合分布律（联合概率函数）,则其联合分布函数,利用几何图形进行解释,15,例 1 设有10件产品中有2件是次品，从中依次随 机地不放回地取两件，若以X,Y分别表示第一次， 第二次的次品数，求(X,Y)的联合分布率,(X,Y)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),“0”表示取到正品，“1”表示取到次品,16,由此得X与Y的联合分布律为,17,例2 将一枚硬币抛掷3次，令X表示3次抛掷出现正面的次数，Y表示3次抛掷出现正面的次
7、数与反面出现次数差的绝对值，求(X,Y)的联合分布率,X的可能取值为0,1,2,3; Y的可能取值为1, 3,18,19,四、二维连续型随机变量,1.定义：对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，,则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度函数。,如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：,20,2. 概率密度的性质：,40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：,这个公式非常重要！,在几何上 z = f
8、 (x , y) 表示空间的一个曲面，上式 即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积.,21,例3 设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度为,(1)求常数c; (2)求(X,Y)的联合分布函数;,解 (1) 有概率密度的性质,有,22,当x0或y0时, F(x,y)=0;,当x0且y0时,23,24,25,3.二维均匀分布,D,x,y,设D为平面上的有界区域,其面积为A,如果二维,随机变量(X,Y)的密度函数为,则称二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布.,26,二维均匀分布几何意义,D,y,x,如果二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,则,(1) 可以认为随机点(X,Y)只落在区域D内;,(2) 落在区域D内的任意子区域D1的概率与D1的面积成正比,而与D1的形状与位置无关.,27,4.二维正态分布,如果二维随机变量(X,Y)的密度函数为,则称随机变量(X,Y)服从参数为(1, 2, 12,22,),的正态分布,记为: (X,Y)N(1, 2, 12,22, ),