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1、一、定义,定义 设 及 分别是二维随机变量的分布函数及边际分布函数，若对于所有的 有,即,则称随机变量,与,是相互独立的。,事实上，如果离散型变量 中 与 相互独立，则对所有的 有公式,如3.2例2中放回抽取的两个随机变量 与 是相互独立的，不放回抽取是不相互独立的。,恒成立。,对于连续型随机变量 与 称为相互独立的，那么对所有 ，有,恒成立。,注意：当 与 相互独立，条件分布就化为无条件分布。即,（1）,对比（1）与（2）式，因此，如果 ，则对于所有 有,下面考察二维正态随机变量 的独立性，它的联合概率密度为,反之，如果 与 相互独立，则对于所有 ， 应有,综上所述，二维正态随机变量 中 与
2、 相互独立的充分必要条件是参数 。,从而得到 。,例1 设二维随机变量 的密度函数为,判断 与 是否相互独立。,二、例题解析,解: 根据3.2例3，求出边际分布分别为,容易验证,所以 与 相互独立。,例2 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8-12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7-9时，设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（ 小时）的概率。,解：设 和 分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，由假设 和 的概率密度分别为,因为 与 相互独立，故 的联合密度为,即他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（ 小时）的概率为 。,例3.设二维随机变量 的密度函
3、数为 问随机变量 与 是否相互独立。,解：要考虑其独立性，先求 与 的边际分布,当 时，,当 时，,所以，,同理可得，,由此，,故 不相互独立。,例4 设二维随机变量 的分布如下表,问 与 是否相互独立。,解：由上表易证， 故 与 相互独立。,注：1.在实际上，如果两个随机变量的取值互相不影响，通常就看做是相互独立的。 2.可定义 维随机变量的相互独立性。 设 为 个随机变量，若对于任意的 成立,则称 是相互独立的。,3.对于连续型随机变量有,即联合分布密度等于各个边际分布的乘积。 4.若 相互独立，则任意 个随机变量也相互独立。,2.11 随机变量的独立性,小 结,1. 独立性是随机变量之间的一种最基本的关系,是概率论的重要概念.,3. 在实际问题中,通常根据经验判断随机变量之间的独立性.,2. 独立随机变量的性质：,作 业 习题三 12、13、14、26,