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1、1,3.3随机变量的独立性,2,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,两随机变量独立的定义是：,3,设二维随机变量(X,Y)的分布函数 为F(x, y), X和Y的边缘分布函数分别为 FX(x), FY(y),若x,y ,有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称随机变量X和Y相互独立,定义:,其意义:,事件Xx与Yy相互独立,用分布函数表示,即,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,4,离散型:,X与Y相互独立,即pij=pi. p.j (i,j=1,2,)
2、,连续型:,X与Y相互独立,若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y 相互独立=0,f(x,y)=fX(x)fY(y),PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,5,例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为:,若X与Y相互独立,求 , 之值,6,解:,=PX=2,Y=2,=PX=2PY=2,=PX=2,Y=3,=PX=2PY=3,又由,解得:,7,例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度 为:,求 PYX,解:由题意可知,8,PYX,=0.3697,f(x,y)=fX(x)fY(y),D,9,证明:,例3,设:(X ,Y )N 求证: X与Y独立
3、 =0,10,由,“” 把=0代入,于是:, X与Y独立,11,“”,X和Y相互独立 (x,y) R2.有 f(x,y)= fX(x)fY(y),对比两边 =0,特别,取 代入上式有 即:,12,解：,x0,即：,对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立,y 0,13,解：,0x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故X和Y不独立 .,14,例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？,解:
4、 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60),15,所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY),甲先到 的概率,由独立性,先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率,16,解一：,P(| X-Y| 5),=P( -5 X -Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),17,解二：,P(X Y),=1/6,=1/2,被积函数为常数， 直接求面积,=P(X Y),P(| X-Y| 5),18,类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停
5、泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.,19,在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信号互相干扰的概率.,20,类似于二维随机变量的理解,定义: 将n个随机变量 X1,X2,Xn 构成一 个n维向量(X1,X2,Xn)称为n维随机变量,(X1,X2,Xn)的分布函数: F(x1, x2, , xn) =PX1x1, X2x2, , Xnxn,以上所述关于二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度及独立性等概念，容易推广到N维随机变量中去。,21,离散型: PX1=x1j
6、1, X2=x2j2, , Xn=xnjn=pj1j2jn,连续型: F(x1, x2, , xn),22,设F(x1, x2, , xn)为n维(X1,X2,Xn)的分布函数,F(x1, x2, , xn)=,23,定理1 若连续型随机向量（X1, ,Xn）的概率密度函数f(x1, ,xn)可表示为n个函数g1, ,gn之积，其中gi只依赖于xi，即 f(x1, ,xn)= g1(x1) gn(xn) 则X1, ,Xn相互独立,且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.,最后我们给出有关独立性的两个结果：,补充,24,定理2 若X1, ,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1, ,Xm), Y2=g2 (Xm+1, ,Xn) 则Y1与Y2独立 .,