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1、3.7 随机变量函数的分布,由(X,Y)的分布导出Z=g(X,Y)的分布,一、(X,Y)为二维离散型随机变量,若X和Y相互独立,则有,例1 设(X,Y)的分布律为:,试求Z=X+Y的分布律,解:,由已知,可得:,Z=X+Y的分布律为:,二、(X,Y)为二维连续型随机变量,1.一般函数的分布,即Z的分布函数是(X,Y)落入区域 D: g(x,y)z的概率,FZ(z)=PZz,=Pg(X,Y)z,fZ(z)=FZ(z),例2 设X和Y是相互独立的随机变量,且 都服从标准正态分布N(0,1). 试求:Z=X+Y的概率密度,解:,FZ(z)=PZz=PX+Yz,令y=tx,则,令,则,可见，ZN(0,
2、 2)分布,一般, X与Y相互独立,且 XN(1,12), YN(2,22) 则Z=X+Y仍然服从正态分布,且 ZN(1+2,12+22),还可推广: 有限个相互独立的正态随机 变量的线性组合仍然服从正态分布,例3 设X与Y相互独立,它们的概率密度分 别为:,求,的概率密度,解:,FZ(z)=PZz,当z0时,当z0时,FZ(z)=0,例4 设X与Y相互独立,它们的概率密度 分别为:,试求: Z=X+Y的概率密度,解:,当z0时,当0z1时,FZ(z)=0,fZ(z)=0,=z1+ez,fZ(z)=FZ(z)=1ez,当z1时,综合,得:,=1+ez e1z,fZ(z)=FZ(z)=(e1)e
3、z,2. Z=maxX,Y或Z=minX,Y的分布,(1) Z=maxX,Y的分布函数:,FZ(z)=PZz,若X与Y相互独立,则FZ(z)=PXzPYz,=FX(z)FY(z),=PXz,Yz,(2) Z=minX,Y的分布函数:,FZ(z)=PZz,=1PZz,=1PXz,Yz,若X与Y相互独立,则 FZ(z)=1PXzPYz,=11PXz1PYz,=11FX(z)1FY(z),例5 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到的观察值为X1, X2, X3, X4, X5,设它们 是相互独立的装置,且都服从同一分布,试求: Z=maxX1, X2, X3, X4, X54的概率,PZ4=1PZ4,=1FZ(4),由已知 ,有FZ(z)=F(z)5,则PZ4=1F(4)5,=1(1e2)5,解:,