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1、第五章 金属电子论(自由电子费米气),上世纪初Drude和Lorentz在经典理论的基础上提出了金属中自由电子气模型，成功地说明了欧姆定律、热导和电导之间的联系等。,问题： 按照经典理论，自由电子气应服从玻尔兹曼统计，则自由电子对热容量的贡献应和晶格振动的贡献相当，但实验结果是电子的贡献相对很小。,原因： 自由电子气应服从费米量子统计。,借助于自由电子模型，可以理解金属（特别是简单金属如碱金属）的许多物理性质。,第 一 节 自由电子气的能量状态,一、金属中自由电子的运动方程和解,二、波矢空间和能态密度,三、自由电子气的费米能量,本节主要内容：,一、金属中自由电子的运动方程和解,(1)金属中的价
2、电子彼此之间无相互作用；,1.模型(索末菲),自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。,(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；,(3)价电子速度服从费米狄拉克分布。,为计算方便，设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度是无限的。粒子势能为,2.薛定谔方程及其解,每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：,E-电子的能量,-电子的波函数(是电子位矢 的函数),常用边界条件：,周期性边界条件,波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。,波矢，,为电
3、子的德布罗意波长。,电子的动量：,电子的速度：,由正交归一化条件：,由周期性边界条件：,(其中 为整数),二、波矢空间和能态密度,1.波矢空间,以波矢 的三个分量 为坐标轴的空间称为波矢空间或 空间。,金属中自由电子波矢：,(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：,(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):,2.能态密度,(1)定义:,(2)计算:,波矢密度,两个等能面间的波矢状态数,两等能面间的电子状态数,能态密度,两等能面间的波矢状态数：,考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，,能态密度:,例1：求金属自由电子气的能态密度,金属中自由电子的能量,法1.,法
4、2.,金属中自由电子的能量,其中,在半径为k的球体积内电子的状态数为：,自由电子气的能态密度：,法3.,其中,三、自由电子气的费米能量,费米统计：在温度T处于热平衡时，能量为E的状态被电子 占据的概率是,1.费米能量,EF-费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。,随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近kBT范围内。,2. 图象,3.费米面,E=EF的等能面称为费米面。,在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。,费米能级,T0K时，费
5、米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级。,EF,4.求EF的表达式,分两种情况讨论：,EE+dE间的电子状态数：,EE+dE间的电子数：,系统总的电子数：,(1)在T=0K时，上式变成：,将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得：,其中,令n=N/V，代表系统的价电子浓度，则有,自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算,金属中一般 n1028m-3，电子质量m=910-31kg，,几个电子伏。,由上式可以看出即使在绝对零度时，电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。,(分步积分得来),(2),则上式化简为,因此一方面，,另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：,函数的特点具有类似于函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显著的值，且是EEF的偶函数。,只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到,由于 为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。,令(E-EF)/kBT=，则,因为 ，I0等于，,得:,=1,=0,由于系统的电子数,利用kBTEF，最后得,stop,