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1、第六章 第二节 点估计的评价标准,对于同一个未知参数,用不同的方法（或同一方法）得到的估计量可能不同,于是提出问题：,(1)相合性(一致性),(3)有效性,(2)无偏性,评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 .,定义: 设 是总体参数,的估计. 若对于任意的 , 当n 时,一、相合性,依概率收敛于 , 即,实际中,估计量应随着样本容量n的增大而愈稳定于其真值.,注：相合性是对估计的最基本要求，由定义，证明估计具有相合性可用依概率收敛的性质和各种大数定律。,判断一致性的三个常用结论,样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性,定理1,定
2、理2,例1. 设 X U (0,), x1, x2, xn 是 X 的一个 样本, 证明：的最大似然估计是相合估计. （P294）,例2.,为参数,则 是 的相合估计.,注: (1) 为EX的相合估计 ; (2) s2是 Var(X)的 相合估计； （3）s2 也是Var(X)的 相合估计； （4）s (或s*)是 的相合估计； （5） 是 的相合估计.,x,例3. 设一个试验有三种可能结果, 其发生的概率分别为,现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1， n2， n3，则用频率替换法得到的的估计为相合估计. ( P295),二、无偏性 (Unbiasssed Estimate),无
3、偏性的意义是：用一个估计量去估计未知参数, 有时候可能偏高,有时候可能偏低, 但是平均来说它等于.,注：无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指无系统性偏差。,例4.对任一总体X（均值为 ,方差为 2), 样本均值为总体均值的无偏估计.更一般,当总体的k 阶矩存在时,样本的k阶原点矩ak 是总体k阶原点矩k 的无偏估计. 而对中心矩此结果则不成立。,证:,因而,由于,注1: 是和2的无偏估计(而S*2有偏).因此S2称为无偏方差.,总体为N(,2),证明:样本标准差S不是总体标准差的无偏估计,而是渐近无偏估计. (P296),例5.,注 2.由于 ,称 的渐近无偏估计,注 3.
4、同一参数可能有多个无偏估计（U.E不唯一）.,Xb(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量.,分析: 由于样本原点矩是总体原点矩的无偏估计以及数学期望的线性性质, 一般只要将未知参数表示成总体原点矩的线性函数, 然后用样本原点矩作为总体原点矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量肯定为无偏估计量.,解：,因此, p 2 的无偏估计量为,故,X b(1 , p). （1）求p 2 的无偏估计量； （2）证明 1p 的无偏估计不存在.,例8. 设总体 X 的密度函数为,为参数，,为 X 的一个样本，,证明,与,都是的无偏估计.,证：,故,故 是 的无偏估计量.,即,故 n x(1) 是
5、 的无偏估计量.,的密度为,都是总体参数 的无偏估计量，,则称 比 更有效.,三、有效性,的大小来决定二者谁更优 .,一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 的无偏估计量，可以比较,若对任意 ，有,且至少有一个 使上述不等号严格成立，,由例8可知, 与 都是 的无偏估计量.,问哪个估计量更有效？,0为常数,例9. 设总体 X 的密度函数为,解：,注： 是 的无偏、有效、一致估计量.,例10. 设总体 X，且 E( X )= , Var( X )= 2,为总体 X 的一个样本,证明,是 的无偏估计量,称之为 的线性无偏估计类.,证 : (1),(1) 设常数,(2),利用柯西不等式,
6、其中等号成立的充要条件是,而,例如 X N( , 2 ) , ( x 1, x 2 ) 是一个样本.,都是 的无偏估计量,例11. 设 X U (0,), x1, x2, xn 是 X 的一个 样本, 则由前可知：的最大似然估计是x(n). 由于,所以x(n)不是的无偏估计, 而是渐近无偏估计. 但修正后可得的一个无偏估计:,另由矩法估计可知 也是的无偏估计,易证:当n1时,前者比后者更有效.(P298),设x1,x2 , ,xn为抽自均值为 的总体,考虑 的如下两个估计:,显然两个估计都是的无偏估计.再计算其方差:,例12.,表示去掉第i个样品后,对其余n-1个样品所求的样本均值.,这表明,
7、用样本均值去估计总体均值时,使用全体样品总比不使用全体样品要好.,四、 均方误差准则,有偏估计不一定不是好的估计.当 不是的无偏估计时,样本量一定时,点估计优良的标准是估计 与真值距离的函数 即,的大小.称之为均方误差.,这是因为均方误差能够分解成两部分:,第一部分是估计量的方差.第二部分是估计量的偏差 的平方.,均方误差能够分解成两部分:,证明:,注:,如果一个估计量是无偏的,则第二部分是零.即:,这表明用方差考察无偏估计的合理性.,如果一个估计量是有偏的,不仅要考察方差大小,还要考察其偏差的大小.,这时两个估计中哪一个估计的均方误差小,我们就把哪一个估计看作比较优,这种判定估计量的准则叫均方误差准则.,均方误差准则,例13. 设X U (0,), 由的最大似然估计得的一个无偏估计: 其均方误差为,考虑的另一估计 ,它虽为有偏估计但作为渐近无偏估计,具有更小的均方误差.(P299),