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1、一、梁的内力：剪力和弯矩 二、剪力和弯矩的计算方法：,复习：,1.,且P左上右下为正；反之为负。,2.,且MC左顺右逆为正；反之为负。,三、剪力图和弯矩图的绘制,1.内力方程法作Q、M图；,2.微分法作Q、M图；,3.叠加法作M图。,q、Q图 、M 图的变化规律： 上、上、上；下、下、下。,依据：,桥梁的受弯破坏问题,工程背景,1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹桥发生垮塌，造成：, 40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。,由工程实例可知：,工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。,研究弯曲强度问题,受弯构件内 应力的分布规律,危险部位极值应力的大小和方向,弯曲强度问题的研究对避
2、免受弯结构的破坏具有十分重要的意义。,梁的横截面上的应力形式,梁的横截面上的弯曲内力-剪力Q和弯矩M,第四节 纯弯曲梁横截面上的正应力,x,梁的横截面上M0，Q 0,梁的横截面上M0，Q = 0,一、纯弯曲梁的概念,Pa,推导纯弯曲梁的横截面上正应力,变形的几何关系,物理关系,静力关系,直接导出弯曲正应力,梁横截面上的弯矩,二、 弯曲正应力公式的推导,梁的变形现象,横向线mm，nn仍保持为直线，不过各线已互相倾斜，但仍与纵向线垂直。,纵向线aa，bb弯曲成弧线。靠近梁顶部凹面的纵向线缩短，而靠近底部凸面的纵向线伸长。纵向线间距离保持不变。,单向受力假定,平面假定,变形的基本假定,中性层和中性轴
3、,（1）中性层是对整个截面而言的，中性轴是对某个截面而言的。,（2）中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。,MZ: 横截面上的弯矩,y: 所求应力点到中性轴的距离,IZ: 截面对中性轴的惯性矩,三、 弯曲正应力公式,上式表面:弯曲横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布，中性轴上为零，其最大值发生在截面的上下边缘处。,横力弯曲正应力,横力弯曲时的正应力，用纯弯曲正应力公式计算不会引起很大的误差，能够满足工程问题所需的精度。,等直梁的最大弯曲正应力公式,等直梁 max,Mmax所在横截面,离中性轴最远处,* 梁的正应力强度计算,称为抗弯截面模量,设 ymax为到中性轴的最远距离,二、梁的正应
4、力强度计算 1、强度校核 若已知梁的截面形状和尺寸，材料及作用的荷载，可进行强度校核,2、选择截面 若已知材料和荷载，可先算出W值，再确定截面的尺寸,3、计算允许荷载 若已知材料和截面形状及尺寸，可先算出M值，再确定P值,一、梁的正应力强度条件：,例1.试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,竖放,横放,【例2】一矩形截面的简支梁，梁上作用有均布荷载，已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的容许正应力 ，试校核该梁的强度。,解：作梁的弯矩图,所以该梁强度足够,例3：一矩形截面简支梁长 L=8 m ,跨中作用集中荷载 P = 360k
5、N ，已知其矩形横截面的高宽比 h : b = 3 : 2 ，材料有许用应力 = 240 MPa ，试确定该截面的h、b的值。,解：,由M图知,则：b=200mm,取 h=300mm,小结：,一、 弯曲正应力公式,二、梁的正应力强度条件：,铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=40310-7m4，铸铁抗拉强度+=50MPa，抗压强度-=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。,B截面,C截面,如果T截面倒置会如何?,一、梁横截面上的剪应力,* 梁的剪应力强度条件,Q横截面上的剪力,IZ横截面对中性轴的惯性矩,S*Z所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩,剪应力沿截面高
6、度呈抛物线分布，在中性轴处最大，在上下边缘处为零。,最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零,最大剪应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零,b所求应力点的截面宽度,二、常见梁横截面上的最大剪应力,（1）矩形截面梁,（2）工字形截面梁,（3）圆截面梁,h1_腹板的高度,d_腹板的宽度,（4）空心圆截面梁,矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求max , max 。,细长等值梁,三、梁的剪应力强度条件,或：,与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作： 1、强度校核；2、截面设计；3、确定梁的许可荷载。 但通常用于校核。,特殊的： 1、梁的最大弯矩小，而最
7、大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。 需进行剪应力强度计算。,一、合理配置梁的荷载和支座,1、将荷载分散,* 提高梁弯曲强度的措施,2、合理设置支座位置,二、合理选取截面形状,从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。,面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。,同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。,二、合理选取截面形状,三、合理设计梁的外形（等强度梁
8、）,梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。,各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。,小结：,一、梁的应力：,(1)梁横截面上的正应力沿高度呈线性分布，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处最大。 （2）梁横截面上的剪应力沿高度呈抛物线分布，在中性轴上最大，而在梁的上下边缘处为零。,1. 正应力强度条件：,2.可解决三方面问题：,二、梁的强度计算：,（1）强度校核； （2）设计截面尺寸； （3）计算容许载荷。,