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1、了解空间向量的基本定理/理解空间向量坐标的概念/掌握空间向量的坐标运算/掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式/掌握空间两点间的距离公式,7.7 空间向量的坐标运算,1空间向量的直角坐标运算律 (1)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)； ab(a1b1，a2b2，a3b3)； a(a1，a2，a3)(R)；aba1b1a2b2a3b3； aba1b1，a2b2，a3b3(R)；aba1b1a2b2a3b30.,(2)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB(x2x1，y2y1，z2z1) 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示
2、这个向量的有向线段的 的坐 标减去 的坐标 2模长公式：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则|a| 3夹角公式：cosa，b,终点,起点,4两点间的距离公式 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 或d(A，B) . 5如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，记作a，此时向量 a叫做平面的 ,法向量,1已知点A(3,1，4)，则点A关于原点的对称点坐标为( ) A(1，3，4) B(4,1，3) C(3，1,4) D(4，1,3) 解析：设A点关于原点的对称点坐标为(x，y，z)，则 ， x3，y1，z4. 答案：C,2已知向量a(2，3,5)，b(3， )，且
3、ab，则等于( ) 解析：ab，则bxa， ，解得 . 答案：C,3已知A(1，2,3), B(4，4，3), C(2,4,3)，D(8,6,6)，则向量 在向量 方向上的射影AB_. 解析： (41，42，33)(3，2，6)， (82,64,63) (6,2,3)，而CD方向上的单位向量是 AB e(3，2，6) . 答案：,4我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量在平面直角坐标 系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为n (1,2)的直线(点法式)方程为(x2)2(y1)0，化简后得x2y0.类 比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1,3)，
4、且法向量n(1,2,1) 的平面(点法式)方程为_(请写出化简后的结果) 答案：x2yz30,空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，利用空间向量基本定理可将证明四点共面及直线与平面平行等问题转化为解方程组 【例1】 证明四点A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)在同一平面内,证明： (3,4,5)， (1,2,2)， (9,14,16)，若设 ， 则(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，所以 由得： 把它代入也成立， ， 因此A、B、C、D四点共面,变式1. 若a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(1,1,1) (1)试证a，b，c不共
5、面；(2)试用a，b，c表示d(5,3,6) 解答：(1)证明：假设a，b，c共面，由a，b不共线知cab， 即(1,1,1)(1,0,0)(1,1,0) 此为矛盾，a，b，c不共面 (2)设dxaybzc，则 解得 d2a3b6c.,此类题主要通过建立合理、恰当的空间直角坐标系后写出所证的向量的坐标，通过判定两向量的平行或垂直关系，进而达到判定两直线的平行或垂直关系 (1)平行问题向量共线，注意重合 (2)垂直问题向量的数量积为零，注意零向量,【例2】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、Q分别为所在棱A1B1、BB1、 DD1的中点，P为棱BC上一点且PB3PC，AB1， (1)求
6、证：PQAM，PQCN； (2)求 .,解答：(1)证明：如右图，建立直角坐标系Dxyz. 则A(1,0,0)，M(1， ，1)，C(0,1,0)，N(1,1， )，P( ，1,0)，Q(0,0， )， 故PQAM，PQCN. (2) (1,1,0)， .,变式2.已知M、N分别为正方体ABCDA1B1C1D1棱A1B1、BB1的中点， 则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( ),解析：如图，建立直角坐标系Dxyz，设AA11，则A、C、M、N四点的坐标分别为A(1,0,0)、C(0,1,0)、M(1， ，1)、N(1，1， ) (0， ，1)， (1,0， ) 因此异面直线AM与CN所成角的
7、余弦值为 . 答案：B,利用向量可解决异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角以及点面距离问题，例如求直线与平面所成的角，可求直线的方向向量a与平面法向量n的夹角，若a，n为锐角，则 a，n；若a，n为钝角时，a，n .,【例3】 三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PAPBPC3. (1)求证：ABBC；(2)设ABBC2 ，求AC与平面PBC所成角大小 解答：(1)证明：以AC的中点D为原点， 如右图建立直角坐标系Dxyz， 设A、B、C三点坐标分别为(0，a，0)，(x，y,0)，(0，a,0) 则 (x，ya,0)， (x，ay,0)，P(0,0，z)， 根据已知条件：
8、，则a2(x2y2)0. x2(a2y2)a2(x2y2)0， .,(2)由ABBC2 知，AC2 ，PD ，DB ， 在RtABC中，BDAC，点B在x轴上 P，B，C三点坐标分别为：(0,0， )，( ，0,0)，(0， ，0)， 则 ,设平面PBC的法向量n(1，y，z)， 则 即 解得 n(1,1， )，又 , 因此直线AC与平面PBC所成角为30.,1空间向量的坐标表示及运算是空间向量基本定理的具体应用和“量化”，在涉及正方体、长方体、直棱柱等几何体时，通过建立空间直角坐标系，实行向量的坐标运算解决几何问题方便易行，行之有效具体的步骤可归纳为： (1)建立直角坐标系； (2)求相关点
9、坐标； (3)表示向量坐标； (4)向量的坐标运算 2通过空间向量的坐标运算可解决立体几何中平行和垂直等位置关系和计算成 角和距离等问题，在证明直线和平面平行、两平面互相垂直、计算直线和平 面所成角、二面角以及求点到平面的距离时，要注意平面法向量的求法和使 用.,【方法规律】,(本题12分)如图，已知M、N分别为正方体ABCDA1B1C1D1所在棱上一点，且CMBN. 求证：A1MC1N,证明：如图建立直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1. 则A1(1,0,1)，M(x,1,0)，C1(0,1,1)，N(1，1x，0)， (x1,1，1)， (1，x，1) 0，即 ，因此A1MC1N.,【答题模板】,1. 本题可以看做是在正方体ABCDA1B1C1D1中证明A1CBC1问题的推广，将动 点引入立体几何试题中，我们称之为“立体几何中的动态问题”，让静止的图 形动起来，操作、感知、猜想、再辩证、动中有静，静中窥动，既考查：空间 想像能力，也突出了变化的思想，这样的试题会在今后的高考中不断涌现 2本题用传统的几何法是不易解决的问题，而利用向量尤其是利用建立坐标系 解决“垂直”问题展现了向量法得天独厚的条件.,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,