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1、高等数学（下） 8.1节 空间解析几何与向量代数,主 要 内 容,1 向量的概念,2 向量的线性运算,3 空间直角坐标系,4 利用坐标作向量的线性运算,5 向量的模、方向角、投影,向 量 的 概 念,表示法:,向量的模 :,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,向 量 的 概 念,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量
2、经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,主 要 内 容,1 向量的概念,2 向量的线性运算,3 空间直角坐标系,4 利用坐标作向量的线性运算,5 向量的模、方向角、投影,向 量 的 计 算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,向 量 的 计 算,向 量 的 计 算,2. 向量的减法,三角不等式,向 量 的 计 算,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,向 量 的 计 算,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数), 取 ,且,再证数
3、的唯一性 .,则,取正号, 反向时取负号,向 量 的 计 算,则,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数),向 量 的 计 算,例1. 设 M 为,解:,主 要 内 容,1 向量的概念,2 向量的线性运算,3 空间直角坐标系,4 利用坐标作向量的线性运算,5 向量的模、方向角、投影,空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,空间直角坐标系,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上
4、的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,空间直角坐标系,坐标轴 :,坐标面 :,空间直角坐标系,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,主 要 内 容,1 向量的概念,2 向量的线性运算,3 空间直角坐标系,4 利用坐标作向量的线性运算,5 向量的模、方向角、投影,利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,利用坐标作向量的线性运算,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3 , 得,代入得,利用坐标作向量的线性运算,例3. 已知两点,在AB
5、直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,利用坐标作向量的线性运算,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,主 要 内 容,1 向量的概念,2 向量的线性运算,3 空间直角坐标系,4 利用坐标作向量的线性运算,5 向量的模、方向角、投影,向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,向量的模、方向角、投影,例4. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,向量的模、方向角、投影,例5. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点
6、为,解得,故所求点为,及,离的点 .,向量的模、方向角、投影,例6. 已知两点,和,解:,求,向量的模、方向角、投影,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,向量的模、方向角、投影,方向余弦的性质:,向量的模、方向角、投影,例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,向量的模、方向角、投影,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于
7、是,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,向量的模、方向角、投影,2. 向量在轴上的投影,空间一点在轴上的投影,过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上,的投影.,空间一向量在轴上的投影,轴u称为投影轴.,已知向量的起点A和终点B,在轴u上的投影分别为,那么轴u上的有向线段,的值,称为向量在轴u上的,投影.,向量的模、方向角、投影,Projection,在轴u上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴u上的,投影,记为,投影性质1,投影等于向量的模乘以,投影有正、,负之分;,模只为正值.,向量的模、方向角、投影,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和.
8、,投影性质2,投影性质3,小 结,向量的概念,向量的线性运算,（注意:与数量的区别与记法）,(平行四边形法则, 三角形法则, 注意数乘后的方向),空间直角坐标系,空间两点间距离公式,(注意它与平面直角坐标系的区别),(点、坐标轴、坐标面、卦限),小 结,向量在轴上的投影与投影性质.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向角.,(注意分向量与坐标的区别),利用坐标作向量的线性运算.,思 考,1.,设,求以向量,行四边形的对角线的长度 .,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,思 考,解: 因,2. 设,求向量,在 x 轴上的投影及在 y,轴上的分向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,作 业,P 12 4， 13， 15， 18,