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1、1 建立方程、定解条件,方程的导出 定解条件和定解问题 变分原理 分离变量法,1.方程的导出,本章研究调和方程(又称拉普拉斯方程),以及泊松方程,的基本定解问题及解的性质。,(1.1),(1.2),(1) 引力位势,经计算可得:,直接计算可得:,还可进一步验证:,(2) 静电场的电位势,应用高斯公式,上式可改写为:,由区域G的任意性得:,静电场方程,由于静电场是无旋场,因而存在电势u,,从而静电场的电势u应当满足泊松方程,如果静电场的某一区域里没有电荷,即=0,则 静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程,(3) 稳定温度分布,2.定解条件和定解问题,(1) 第一边值问题(Dirichlet问题
2、),(2) 第二边值问题(Neumann问题),(3) Dirichlet外问题,(4) Neumann外问题,注:当考虑外问题时,为保证解的唯一性,还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形,通常要求:,其它边界条件,(5) 第三类边界条件,(6) 等值面边界条件 (总流量边界条件),3.变分原理,膜的平衡问题:,即:,(1),问题2的解答:,(3),(5),4.分离变量法求解Laplace方程,(1) 矩形区域上Laplace方程的第一边值问题,代入方程(1)得:,分离变量:,由此得 X,Y 满足得常微分方程:,由边界条件(2)知:,得固有值问题:,解之得:,通解为,其中Ak,Bk为任意常数。,因此,是满足方程(1)和边界条件(2)的解。,叠加所有的Uk ,即,代入边界条件(3),得:,由傅里叶正弦展式的系数公式得,解得:,(2) 圆形区域上Laplace方程的第一边值问题,(3),(4),即:,由此得 R, 满足得常微分方程:,由周期性条件(4)得:,固有值问题的讨论:,(6),因此,是满足方程(1)和自然边界条件(3)以及周期性条件 (4)的解。,由叠加原理,满足(1)(3)(4)的解可表为:,代入边界条件(2)得:,故,代入级数得:,证明,(3) 圆形区域上热传导方程的混合问题,即:,于是有:,由(2)知:,另有自然边界条件:,得偏微分方程 固有值问题:,即:,于是:,