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1、2.2 离散型随机变量及其分布律,一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、离散型随机变量的分布函数,如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量.,一、离散型随机变量的分布律,1. 离散型随机变量定义,2. 离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,并设,则称上式为离散型随机变量 X 的分布律.,或称,为离散型随机变量 X 的分布律.,说明,2. 离散型随机变量的分布律,或,离散型随机变量可完全由其分布律来刻划 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定,离散型随机变量的分布律可表示为,或,3. 离
2、散型随机变量的分布律性质,另外，可以证明:,(1) 某一个离散型随机变量的分布律必须满足以上二个性质； (2) 满足以上二个性质的一列实数一定是某一个离散型随机变量的分布律.,例1 从110这10个数字中随机取出5个数字， 令X：取出的5个数字中的最大值试求 X 的分布律.,解：,X 的取值为,5，6，7，8，9，10,并且,X为离散型,则X 的分布律可写为,验证？,分布函数？,例2 将 1 枚硬币掷 3 次，令X：出现的正面次数与反面次数之差试求 X 的分布律,解：,X 的取值为,并且,X为离散型,则X 的分布律可写为,-3，-1，1，3,全为反面,1正2反,2正1反,全为正面,验证？,分布
3、函数？,例3 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).,PX=3=(1-p)3p,可爱的家园,则有,例4 设随机变量 X 的分布律为,得,解：,由随机变量的性质，,该级数为等比级数，,故有,得,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (01) 分布或两点分布.,1.两点分布 (Bernoulli分布),二、常见离散型随机变量的概率分布,也称为随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布,(1重B
4、ernoulli概型),实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (01) 分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,2. 等可能分布 (离散型均匀分布),如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,(古典概型),3. 二项分布,如果随机变量 X 的分布律为,记为,二项分布的概率背景,进行n重Berno
5、ulli试验，设在每次试验中,令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数,(n重Bernoulli概型),二项分布的图形,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.,分布律的验证,又由二项式定理，可知,分布律的验证,由于,以及 n 为自然数，,可知,所以,是分布律,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例5,解,解,图示概率分布,解,因此,例6,由此可知，二项分布的分布,二项分布的分布形态,
6、先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少这个使得,可以证明：,例7 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？,对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验,解：,令：,则由题意,因此，最可能射击的命中次数为,其相应的概率为,例8 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?,设 1000 辆车通过,出事故的次数为 X ,故所求概率为,解,则,几乎
7、算不了.,Poisson定理,如果,证明：,对于固定的 k，有,所以,只有 k项,由 Poisson 定理，,可知,令,则有,Poisson定理,如果,4. 泊松分(Poisson)分布,如果随机变量 X 的分布律为,分布律的验证, 由于,可知对任意的自然数 k，有, 又由幂级数的展开式，可知,所以是分布律.,泊松分布的图形,Poisson分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一,自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的
8、一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.,例如,地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数、 容器在某一时间间隔内产生的细菌数、某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布也是常见的.,例如,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,由Poisson定理得,令,则有,例8 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率
9、是多少?,设 1000 辆车通过,出事故的次数为 X ,故所求概率为,解,则,例9 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率(用Poisson分布近似计算),设 B= 600次射击至少命中3次目标 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.,解：,合理配备维修工人问题,例10 为了保证设备正常工作， 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产)，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ，问至少需配备多少工人 ，才能
10、保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,则 X B(300，0.01），,解：,假设需配备 N 人，,记同一时刻发生故障的设备台数为 X ，,需要确定最小的 N 的取值，,使得：,由泊松定理得,故有,即,查P353表三可知，满足上式的最小的 N 是 8 ,因此至少需配备 8 个工人。,例11 设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,以 X 记
11、 “第 1 人负责的 20 台中同一时刻发生故障的台数”，,解：,按第一种方法.,则 X B (20，0.01）.,设 Ai = “第 i 人负责的台中发生故障不能及时维修”，,则 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：,P352表三,例11 设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,解：,按第二种方法.,以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数，,
12、则 Y B (80，0.01）.,则 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：,P352表三,第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以 有效地使用人力、物力资源。,5. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,即,分布律的验证, 由条件, 由条件可知,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，,试验进行到 A 首次出现为止,即,几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.,说明,例12 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率 为0.64，射击进行到击中目标时为止，令： X：所需射击次数 试求随机变量 X 的分布律，并求至少
13、进行2次射击 才能击中目标的概率,解：,由独立性,得 X 的分布律为：,6. 超几何分布,若随机变量 X 的分布律为,超几何分布的概率背景,一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件 为正品现从中取出 n 件,令X：取出 n 件产品中的次品数，则 X 的分布律为,三、离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,超几何分布,小结,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,