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1、,一、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,二、向量的模与方向余弦的坐标表示,点在坐标轴上的投影、向量在坐标轴上的分向量和投影,向量的分解式、向量的坐标、向量的坐标表示式,利用坐标进行向量的加减和数乘、,利用坐标判断两个向量的平行,两个向量的夹角、,投影定理,向量的方向角、,向量的方向余弦,向量的模的坐标表示,方向余弦的坐标表示、,单位向量的表示,空间向量的坐标,数轴上的有向线段的值：,设在数轴 u上点A、B的坐标分别为u1、u2，,记作AB,则称数值u2 u1,即AB= u2 u1,则显然有,一、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,为数轴 u上有向线段 的值，,设 是与数轴 u 同方向的单位向
2、量，, (u2 u1) ,P 1,为终点的向量,的单位向量，,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,P1称为点M1在x轴上的投影，,P2称为点M2在x轴上的投影,上的分向量,P 2,或ax ,ax=x2-x1,设 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2),有向线段 的值P1P2叫做,向量 在轴x上的投影，记为,Q1称为点M1在 y 轴上的投影，,Q2称为点M2在 y 轴上的投影,上的分向量,或ay ,ay=y2-y1,Q 2,Q 1,为终点的向量,的单位向量，,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,设 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M
3、 2(x 2, y2, z 2),向量 称为向量 在 y 轴,有向线段 的值Q1Q2叫做,向量 在轴 y 的投影，记为,R1称为点M1在 z 轴上的投影，,R2称为点M2在 z 轴上的投影,上的分向量,或az ,az= z2-z1,R 2,R 1,为终点的向量,的单位向量，,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,设 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2),向量 称为向量 在 z 轴,有向线段 的值R1R2叫做,向量 在轴 z 的投影，记为,为终点的向量,的单位向量，,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,设 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起
4、点、以M 2(x 2, y2, z 2),a x (x 2x 1) 、,a y ( y 2y 1) 、,a z ( z 2z 1) ，,起点为M 1(x 1，y 1，z 1) 而 终点为M 2(x 2，y2，z 2)的向量,(x 2x 1) ( y 2y 1) ( z 2z 1) , a x a y a z,此式叫做向量 的坐标表示式,并记 a x、a y、a z ，,上式称为向量 按基本单位向量的分解式,向量 在三个坐标轴上的投影a x、a y、a z叫做向量 的坐标，,注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影 (即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是 三个数a x，a
5、 y，a z ，而向量在坐标轴上的分向量是三个向量,利用向量的坐标进行向量的加减和数乘：,则, a x b x ，a y b y ，a z b z, a x - b x ，a y - b y ，a z - b z, a x ，a y ，a z,，,利用向量的坐标判断两个向量的平行：,则,即,于是,例1 设A(x1，y1，z1)和B(x2，y2，z2)为两已知点，而在AB,解 设所求点为M(x，y，z)，则,xx1，yy1，zz1 x2x，y2y，z2z，,x，y，zx1，y1，z1 x2，y2， 2x，y，z，,二、向量的模与方向余弦的坐标表示,两个向量的夹角：,即,间任意取值,规定它们的夹角
6、可在0与 之,O,B,A,) j,投影定理：, 的余弦：,向量 在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角,Prju =| |cos j ,向量的方向角：,、 (0、0、0)来表示它的方向，称、,对于非零向量 我们可以用它与三条坐标轴的夹角,向量的方向余弦：,因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以,a x| |cos | | cos ；,a y| |cos b | | cos b；,a z| |cos g | | cos g ；,上述cos 、cos 、cos 叫做向量 的方向余弦,向量的模的坐标表示：,向量的方向余弦的坐标表示：,当 0时，可得,方向余弦的平方和：,单位向量的表示：, cos ，cos ，cos ,解,至的单位向量,