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1、第四章 统计量与抽样分布,4.1 总体和样本的统计分布,1.总体分布和样本性质 总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X .,即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 表示.,样本 从总体中抽取的部分个体.,称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.,用 表示, n 为样本容量.,样本空间 样本所有可能取值的集合.,若总体 X 的样本 满足:,一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.,(1) 与X 有相同的分布,(2) 相互独立
2、,则称 为简单随机样本.,简单随机样本,设总体 X 的分布函数为F (x),则样本,若总体X 的密 d.f.为 f( x),则样本,的联合 d.f.为,的联合分布函数为,例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M, 其次品率为,若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它.,X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示 方法:,从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X来描述它是否是次品:,设有放回地抽取一个容量为 n 的样本,的联合分布为,其样本值为,样本空间为,设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,称,定义,例 是未知参数,若 , 已知,则为统计量,是一样本,是统计
3、量, 其中,则,常用的统计量,为样本均值,为样本方差,为样本标准差,为样本的k 阶原点矩,为样本的k 阶中心矩,例如,顺序统计量,为样本值,且,定义 r.v.,其中,独立,与总体同分布,独立,与 同分布,由辛钦大数定律知,样本矩的特性,都存在,其中 为连续函数,设总体 的均值和方差,样本均值与样本方差的数字特征,是来自总体 的样本，则,都存在.,证,样本均值与样本方差的实际意义,反映了实验数据 与数据中心的偏离程度，反映了全体实验数据 的离散程度,4.3 抽样分布,样本,统计量,包含了各种有用信息,集中、提炼数据中包含的有用信息,它们是随机变量,必须确定其分布，称为抽样分布,来自标准正态总体的
4、抽样分布,主要讨论：,来自一般正态总体的抽样分布,分布 分布 分布,五个抽样分布定理,随着自由度的增加曲线重心向右下方移动,称 服从自由度为 的 分布，记为,推广：,则,于是,理解为可独立变化的r.v个数,证,取 个独立同分布 的,随着自由度的增加曲线越来越趋近,称 服从自由度为 的 分布，记为,易知：,？,？,利用伽马函数的斯特林公式,即,故当 较大时,可认为,英国统计学家兼化学家戈塞特 (Gosset W S 1876-1937 )于1908年用笔名Student 发表了关于 t 分布的论文,这是一篇在统计学发展史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现代统计学的新纪元.
5、Gosset, Student 的最后一个字母都是t ,故取名为“t 分布”,又称为“学生氏分布”.,称 服从自由度为 的 分布，记为,分布是为了纪念著名统计学家,费歇耳(R.A.Fisher 1890-1962)而命名,2.抽样分布定理,最重要的总体：,分析：,对 的推断是通过构造统计量实现的,如何构造“好”的统计量,服从什么分布？,统计推断中最重要的结论：,五个抽样分布定理,仍服从正态分布,且,定理一,证,本,则,独立同分布,由正态分布的性质知，线性组合,定理二,分别为样本均值和样本方差，则有,相互独立,分析,？,？,？,(证略),定理三,分别为样本均值和样本方差，则有,证,由定理一、定理
6、二有,且 与 独立,，由 分布的定义有,结果分析,即“平均”说来 与 的差别不大,故可用 “代替”,两个未知参数,一个未知参数,定理四,证,由定理二，有,因两样本独立，故 独立,定理五,证,其中,且 相互独立,又,由 的独立性及 分布的可加性有,由两样本的独立性及 分布的定义有,面积为,则称 为分布密度 的上 分位点,上 分位点,的上 分位点记为,则称 为分布密度 的上 分位点,的上 分位点记为,查标准正态分布表,可求得,例,上 分位点,则称 为分布密度 的上 分位点,的上 分位点记为,查 t 分布表,可求得,例,上 分位点,则称 为分布密度 的上 分位点,的上 分位点记为,例,查 分布表,可求得,若 则 故,上 分位点,