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1、滤波的目的, 为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。 广义滤波包括对信号的检测与参量的估计。 信号的检测：确定在干扰背景中信号是否存在。 信号参量的估计：为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值。,滤波技术, 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的。,所谓滤波器就是一种选频电路。它能选出有用的信号，而抑制无用的信号。,模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图所示。,滤波器,无源滤波器（由R、L、C等元件组成）,有源滤波
2、器（由运放、R、C等元件组成）,有源滤波器的工作频率难以做得很高,而无源滤波器的工作频率很高,设 为某一频率正弦量,有源低通滤波器,为改善滤波效果，常采用二阶低通滤波器,有源高通滤波器,只需将低通滤波器的 R、C 互换,模拟低通滤波器的设计指标,模拟低通滤波器的设计指标有p,p,s和s。 p；通带截止频率 s：阻带截止频率 p：通带中最大衰减系数 s；阻带最小衰减系数 p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如： 1) 巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2) 切比雪夫(
3、Chebyshev)滤波器 3) 椭圆(Ellipse)滤波器 4) 贝塞尔(Bessel)滤波器 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,c称为3dB截止频率：,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：,2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法,(1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2 用下式表示：,N越大，越接近理想滤波器， N越大，滤波器的实现也越复杂。,Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制,(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成,将幅度平
4、方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,上式表明，极点sk用下式表示：,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。,Ha(s)的表示式为,设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,一半极点在左半平面,一半极点在右半平面,？,(3) 频率归一化,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止
5、频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为,式中，s/c=j/c。,令=/c，称为归一化频率；令 p = j= j/c ， p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,式中，pk为归一化极点，用下式表示：,带入Ha(p)表达式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以查表得到。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,(4)阶数N的确定,阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:,将=s代入幅度平方函数中:,用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。,关于3
6、dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：,通常是用一个算出c，然后用另一个(反过来)来检验。,总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：,根据技术指标p,p,s, s，求出滤波器的阶数N。,(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。,(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。,例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,解： (1) 确定阶数N：,(2) 求极点：,归一化传输函数为,上式
7、分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：,极点：-0.3090j0.9511、-0.8090j0.5878、 -1.0000,其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,检验：,可以看出，满足s=30dB 的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。,4、模拟滤波器的频率变换 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,(1) 低通到高通的频率变换,和之间的关系
8、为,上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：,模拟高通滤波器的设计步骤如下：,A、确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p， 阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰 减s。,B、确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器 的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项 设计指标为：,低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。,C、设计归一化低通滤波器G(p)。,D、求模拟高通的H(s)。将G(p) 先转换成归一化高通H(q)，再去归一化，得H(s)：,例： 设计高通滤波器，fp=20
9、0Hz、fs=100Hz，幅度特性单调下 降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,解： 高通技术要求,fp=200Hz p=3dB fs=100Hz, s=15dB,归一化频率,低通技术要求：, 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故, 求模拟高通H(s)：,(2) 低通到带通的频率变换,低通与带通滤波器的幅度特性如图：,由与的对应关系，得到：,由上表知p对应u，代入上式中，有,上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。,下面推导由归一化低通到带通的转换公式：,将q=j代入上式，得到：,为去归一化，将q=s/B代入 ，得到：,模拟带
10、通的设计步骤,A、 确定模拟带通滤波器的技术指标，即：,带通上限频率u，带通下限频率l,下阻带上限频率s1 ,上阻带下限频率s2,通带中心频率02=lu，通带宽度B=u-l,与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,B、 确定归一化低通技术要求：,s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。,通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。,C、设计归一化低通G(p)。,D、 将G(p)转换成带通H(s)。,例：设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中 心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB， 阻带s1=2830rad/s,s2=2
11、1200rad/s，阻带最 小衰减s=15dB。,解 ：(1) 模拟带通的技术要求,0=21000rad/s, p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s, s=15dB B = 2200rad/s; 0= 0 /B = 5, s1= s1 /B = 4.15, s2 = s2 /B = 6,(2) 模拟归一化低通技术要求：,取s=1.833, p=3dB, s=15dB。,(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：,取N=3，查表得：,(4) 求模拟带通H(s)：,(3) 低通到带阻的频率变换,低通与带阻滤波器的幅频特性如图,l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，
12、 s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率， 0为阻带中心频率，02=ul， 阻带带宽B=u-l，B作为归一化参考频率。 相应的归一化边界频率为：,u=u/B, l=l/B, s1=s1/B, s2=s2/B; 02=ul,根据与的对应关系，可得到：,且u -l=1，p=1，上式称为低通到带阻的频率变换公式。将上式代入p=j，并去归一化，可得：,上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,设计带阻滤波器的步骤,A、确定模拟带阻滤波器的技术要求：,下通带截止频率l，上通带截止频率u 阻带下限频率s1，阻带上限频率s2 阻带中心频率02=ul，阻带宽度B=u-l 它们相应的归一化边界频率为
13、 l=l/B, u=u/B, s1=s1/B, s2=s2/B, 20=ul 以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。,B、 确定归一化模拟低通技术要求，,取s和-s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。,C、设计归一化模拟低通G(p),D、将G(p)转换成带阻滤波器H(s),例：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。,解: (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21
14、020; 02=lu=421000025, B=u-l=2200;,l=l/B=4.525, u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9, s2=5.1; 20=lu=25,(2) 归一化低通的技术要求：,(3)设计归一化低通滤波器G(p)：,(4) 带阻滤波器的H(s)为：,Chebyshev低通滤波器的设计方法,提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,N：滤波器的阶数,Chebyshev型滤波器幅度平方函数：,：截止频率，不一定为3dB带宽,，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大,：N阶Chebyshev多项式,当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x； 当N=2时，C2(x)=2x 2 -1； 当N=3时，C3(x)=4x 3 -3x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x),前两项给出后才能迭代下一个,