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1、第二章 气体分子运动论 (Kinetic theory of gases), 2.1 理想气体的压强与温度 2.2 能量均分定理 2.3 麦克斯韦速率分布律 2.4 麦克斯韦速率分布律的实验验证 2.5 玻耳兹曼分布律 2.6 实际气体等温线 2.7 范德瓦尔斯方程 2.8 气体分子的平均自由程 2.9 输运过程, 2.1 理想气体的压强与温度,一. 微观模型,二理想气体压强公式的推导,三理想气体的温度和分子平均平动动能,一. 微观模型,1. 对单个分子的力学性质的假设,分子当作质点，不占体积； （因为分子的线度分子间的平均距离） 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 碰撞为完全弹性（动能不
2、变） 分子服从经典力学规律 分子数目太多，无法解这么多的联立方程。 即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况 瞬息万变，必须用统计的方法来研究。,(理想气体的微观假设),定义: 某一事件 i 发生的概率为 Pi Ni - 事件 i 发生的 次数 N - 各种事件发生的 总次数,(b)统计规律有以下几个特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律 (量变到质变). （3）总是伴随着涨落.,例. 扔硬币,掷筛子,2. 对分子集体的统计假设,（a）什么是统计规律,大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。,(c)对大量分子组成的气体系统的统计假设：,dV-体积元（宏
3、观小，微观大）,（1）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着； （2）平衡态时分子按位置的分布是均匀的， 即分子数密度到处一样，不受重力影响；,（3）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的.,把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子 速度大小， 方向都差不多。,二理想气体压强公式的推导,以ni表示第i组分子的分子数密度,总的分子数密度为,一次碰撞单分子动量变化,2m vix,在 dt 时间内与dA碰撞的分子数,ni vix dt dA,设 dA 法向为 x 轴,dt 时间内传给 dA 的冲量为,公式描述的是统计规律,而不是力学规律.,公式成立的条件：,公式有待于实验的验证,(因为宏
4、观量P与微观量的统计平均值相联系),( 作了几条统计假设),三理想气体的温度和分子平均平动动能,P = n kT,平均平动动能只与温度有关,理想气体温标或热力学温标,温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。,方均根速率, 2.2 能量均分定理,自由度：,N个 原子组成的分子 总自由度= 3N， 其中分子整体 平动自由度 =3 ， 整体转动自由度= 3,N 个原子振动自由度 = 3N - 6,能量均分定理：由经典统计力学描述的气体在绝对温度 T 时处于平衡，其能量的每个独立平方项的平均值等于 kT/2。,确定一个物体空间位置 所需要的独立坐标数。,由理想气体模型
5、单原子分子,刚性双原子分子除平动能,还有转动能:,非刚性双原子分子除平动能、转动,还有振动能:,振动自由度 = 1,设平动自由度 t ，转动自由度 r，振动自由度 s,理想气体内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。,分子平均总动能:,分子平均总能量:,4. 5/2(RT),1. 3kT,2. 1/2(t+r+s)kT,3. i/2(RT) (i为分子的总自由度),5. 3/2(RT),请说明下列公式的物理意义,复习,1平衡态,1理想气体的压强公式,一重点概念,2温度,3理想气体的微观模型,二主要物理规律,2温度公式,3能量按自由度均分定理,三应用,例：1mol氧气(视为刚性双原子分子的理想气
6、体)贮一氧气瓶中，温度为27 ,这瓶氧气的内能为_J;分子的平均平动动能为_J;分子的平均总动能为_ J. (R=8.31mol-1.K-1,k=1.3810-23J.K-1), 2.3 麦克斯韦速率布律,单个分子速率不可预知,大量分子的速率分布是遵循统计规律,是确定的,这个规律就叫麦克斯韦速率分布律。,速率分布函数：,设总分子数N，速率区间 v v+dv，该速率区间内分子数 dNv,速率分布函数,速率 v 附近单位速率区间内 分子数占总分子数的百分比。,归一化条件,一.麦克斯韦速率分布律,气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞，每个分子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻，某特定分子究竟具有多
7、大的速率是完全偶然，不能予知的。但对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明它们的速率分布遵从一定的统计规律。本部分将首先介绍统计分布规律的概念，介绍测定气体分子速率分布的实验，和在平衡态下理想气体分子速率分布的统计规律-麦克斯韦速率分布(Maxwell speed distribution)规律,二. 麦克斯韦速率分布函数,1.最概然速率 vp,f (v) = 0,三. 麦克斯韦速率分布曲线,四. 麦克斯韦速率分布的应用,f(v),f(vp3),v,vp,f(vp1),f(vp2),T1,T3,T2,温度越高，速率大的分子数越多,速率 vp的意义？,2.平均速率,3.方均根速率,速度在
8、区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz,五.麦克斯韦速度分布函数,六.应用,例1:有N个粒子,其速率分布函数为,(1)作速率分布曲线并求常数a;,(2)分别求速率大于v0和小于v0的粒子数;,(3)求粒子的平均速率.,例2:试说明下列各式的物理意义,例3.已知f(v)为麦克斯韦速率分布函数，vp为分子的最可几速率。则,表示_；,速率vvp的分子的平均速率表达式为_。, 2.4 麦克斯韦速率分布律的实验验证,给定,小孔充分小，改变，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布,模拟分子束速率分布 实验图 O - 分子源 C - 圆筒 G - 玻璃板 S1,S2,S3 -
9、 狭缝,铋分子从分子源开口逸出，通过狭缝S1，S2后，进入圆筒C，撞击并粘附在弯曲玻璃板G上。, 2.5 玻耳兹曼分布律,假如气体分子有势能 Ep = Ep( x，y，z )， E = Ep+ Ek,一、玻耳兹曼推广,在麦克斯韦速度分布率中，有一因子,为准确描述玻耳兹曼统计，引入一概念 - 微观状态,气体分子速度在区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ， 位置在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz分子数目为,微观状态：一气体分子处于速度区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy , vz vz+dvz 位置区间 x x+dx，y y+dy，z
10、 z+dz,称该分子处于一种微观状态， dvx dvy dvz dxdydz 所限定的区域称为状态区间。,玻耳兹曼统计：,玻耳兹曼因子,其它情形，如原子 处于不同能级的 原子数目,温度T 的平衡状态下，任何系统的微观 粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量 E 有关，而且与e -E /kT 成正比。,代入上式，归一化,分子数 dN 处于位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz,令 Ep =0 处 气体密度 n0,气体密度随高度变化,二、重力场中的气体分子按位置分布,恒温气压公式（高度计）,设温度不随高度变化 P = P0 e -gh /RT,根据压强变
11、化测高度，实际温度也随高度变化,测大气温度有一定的范围，是近似测量。, 2.6 实际气体等温线,在非常温或非常压的情况下,气体就不能看成理想气体了。,实际气体的等温线可以分成四个区域: 汽态区(能液化)，汽液共存区，液态区，气态区(不能液化)。, 2.7 范德瓦尔斯方程,实际气体要考虑分子大小和分子之间的相互作用,两个分子之间的相互作用势,r0 称作分子半径 10 -10 m,平衡位置,s 有效作用距离 10-9m,分子“互不穿透性”,分子为刚性球，气体分子本身占有体积 ，容器容积应有修正,一摩尔气体,理论上 b 约为分子本身体积的 4 倍,估算 b 值 10 -6 m3,通常 b 可忽略，但
12、压强增大，容积与 b 可比拟时，b 的修正就必须了。,实际 b 值要随压强变化而变化。,内压强与器壁附近吸引气体分子的气体密度成正比， 同时与在器壁附近被吸引气体分子的气体密度成正比。,Pi n2,质量为 M 的气体,上两式就是范德瓦耳斯方程,对氮气，常温和压强低于 5107 Pa范围, 2.8 气体分子的平均自由程,气体分子自由程,线度 10-8m,运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞,该圆柱体的面积 就叫 碰撞截面 = d 2,对空气分子 d 3.5 10 -10 m,气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。,取平均,各个方向随机运动，
13、故为零,设 均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式,第二章 作业,P86 思考题 2.10 P87 习题 2.2 , 2.5 , 2.6 , 2.11, 2.9 输运过程,最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程 - 输运过程。,系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。,非平衡态问题是至今没有完全解决的问题， 理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。,介绍三种输运过程的基本规律：,内摩擦,热传导,扩散,1.内摩擦,现象：A盘自由，B盘由电机带动而 转动，慢慢A盘也跟着转动起来。,解释：B盘转动因摩擦作用力带动了周
14、围的空气层，这层又带动邻近层，直到带动A盘。,这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。,流速不均匀，沿 z 变化（或有梯度）,不同流层之间有粘滞力,设，dS 的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为 df，反作用为 df ，这一对力满足牛顿第三定律。,实验测得, 称为粘滞系数,20 oC 时，水为 1.005 10-3 Pa s 空气为 1.71 10-7 Pa s,流速大的流层带动流速小的流层，流速小的流层后拖流速大的流层。,用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。,根据动量定律,dK = df.dt,考虑到动量的迁移的方向。则：,(2.91),微观上，这种粘滞
15、力是动量传递的结果,(1)下层 平均自由程 l 的区域，单位时间通过 dS 面积，向上层移动的分子数为：,比较实验定律(2.91)和(2.92)得：,结果支持了分子运动论,(2)计算每交换一对分子沿z轴正方向输运的净动量为：,(3)计算dN个分子沿z轴正 方向输运的净动量为：,dK = dk.dN,(2.92),2.热传导,温度不均匀就有热传导,设，沿 z 方向有温度梯度，实验指出， dt 时间内，通过 dS传递的热量为：,负号表示热从温度高处向温度低处传递， 为导热系数,微观推导与粘滞力情况相似，只是动量换成平均动能,=m cv,定容比热,讨论类似,3.扩散,密度不均匀就有扩散,设，沿 z 方向有密度梯度，实验指出，dt 时间内，通过 dS传递的质量为：,负号表示质量从密度高处向密度低处传递， D 为扩散系数,微观推导与粘滞力情况相似，只是密度不同,讨论类似,