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1、第七章 屈服条件,1 屈服条件的概念与假设,一、屈服条件：物体内一点进入屈服时，其应力状态所满足的条件。,1、对单轴应力状态，可用单轴拉伸实验确定屈服极限 ， 当应力到达 时，材料进入屈服。,屈服条件：,用应力函数表示：,2、对纯剪切应力状态，可用剪切实验确定剪切屈服极限 ， 当剪应力到达 时，材料进入屈服。,屈服条件：,用应力函数表示：,3、对复杂应力状态，物体内一点的应力状态由6个应力分量确定。可认为当6个应力分量满足某种函数关系时，这一点进入屈服。即：,屈服函数,复杂应力状态，有6个应力分量各种不同的应力组合和应力路径，不可能对每种应力组合和应力路径都进行实验，这就需要给出一种适用于复杂
2、应力的屈服条件，即屈服函数的数学描述，且可以通过有限的实验确定屈服函数中的力学参量。,想象以6个应力分量为坐标轴构成一个6维的空间，称为应力空间。,应力空间中每一个坐标点代表一个确定的应力状态。而屈服函数,在应力空间中是一张曲面，该曲面称为屈服面,对单轴应力，屈服条件对应一个点，有初始屈服点和后续屈服点的概念。（加卸载规律）,对复杂应力，屈服条件对应一个曲面，有初始屈服面和后续屈服面的概念。,*应力空间的原点对应零应力状态。,*在应力空间的原点的某一邻域内，应力很小，材料处于弹性状态，即围绕应力空间的原点有一个弹性区，应力在弹性区内变化时，只发生弹性变形，,*物体中一点的应力状态落在围绕应力空
3、间的原点的弹性区内时，该点发生弹性变形。,*物体中一点的应力状态落在围绕应力空间的原点的弹性区内时，该点发生弹性变形。,分析：,*当应力增加到一定程度，材料将进入塑性状态。即弹性区存在一个边界，,应力空间中该边界以外的区域为塑性区，,该边界即为屈服面，该边界的函数即为屈服函数。,*屈服面将应力空间分成弹性区和塑性区，且塑形区将弹性区包围在内。,*应力达到或超过该边界，材料进入塑性状态（屈服）并开始发生塑性变形。,*一点的应力状态可用3个主应力和三个主方向表示，屈服函数：,二、基本假设,引入3个假设对屈服条件进行简化。,1、材料初始是各向同性的,由该假设，屈服条件与主应力作用的方位无关，即屈服函
4、数仅是主应力的函数：,应力空间以3个主应力为坐标轴，构成一个3维空间（主应力空间）。屈服面可用3维空间的几何图形直观地表示。,各向同性在不同坐标系下，屈服函数具有相同的形式，与坐标选择无关，故屈服函数可表述为应力不变量的函数：,2、屈服与静水应力张量无关,对岩土类材料，此假设不适用,屈服仅与应力偏量有关,3、拉伸和压缩是一致的,即应力分量改变符号时，屈服函数的值保持不变。,2屈服面在主应力空间中的特征,由屈服条件的三个假设，可得出屈服面在主应力空间中的基本特征。,（1）屈服面是垂直于p平面的柱面。,（2）屈服面在p平面上的投影在每30分割段中有相似性。 即30对称性。,屈服面的确定： 选择有限
5、个应力路径进行加载试验到屈服，得到屈服面上的有限个点，经数学拟合得到屈服面方程。 由实验和理论分析，提出假设，给出屈服条件的表达式，再由实验验证。,3 两种常用屈服条件,一、Tresca屈服条件,最大剪应力屈服假设：当最大剪应力达到某个极限值时材料发生屈服。,如不规定,的大小顺序，则屈服条件为,屈服面在主应力空间中是一个正六棱柱面，在p平面内是6条直线，构成正六边形。,Tresca屈服条件中的材料常数k1可由简单实验确定。如单轴拉伸或纯剪切实验。,（1）单轴拉伸：屈服时的主应力状态为,由Tresca屈服条件：,（2）纯剪：屈服时剪切应力为,主应力状态：,由Tresca屈服条件：,如材料服从Tr
6、esca屈服条件，则：,Tresca屈服条件没有考虑中间主应力对屈服的影响。,二、Mises屈服条件：,Mises屈服条件：当偏应力的第二个不变量达到某个极限时，材料进入屈服。即：,同样Mises屈服条件中的材料常数k2可由简单实验确定,（1）单轴拉伸：屈服时的主应力状态为,（2）纯剪：屈服时剪切应力为,主应力状态：,如材料服从Mises屈服条件，则：,由等效应力定义,Mises屈服条件,三、Tresca与Mises屈服条件的比较,四、 Tresca条件和Mises条件的实验验证,前面已经提到这两个屈服条件是建立在假设基础上的, 需要通过实验来验证. 这里介绍两个有名的实验.,1. Lode实
7、验 1926年W.Lode在软钢,铜和镍的薄壁筒上做实验, 薄壁筒受轴向力 和内压 的作用.,Tresca条件有:,Mises条件有:,Tresca条件,Mises条件,应力状态为:,实验表明Mises条件较符合.,2. Taylor 和Quinney 实验 1931年他们做薄壁筒的拉扭联合实验.,拉力为 , 扭矩为 , 这是平面应力问题.应力状态见图. 有,主应力为,按Tresca条件有:,即,按Mises条件有:,Mises条件,Tresca条件,软钢,钢,Mises条件比较好.,例2-1平面应力状态的屈服条件.,解 因为对平面应力状态, . 此时Tresca条件为,它表示在 平面上的屈服
8、曲线为一个六边形(如图深黄色所示).,Mises条件为:,它表示在 平面上的屈服曲线为上述六边形的外接椭圆(如图红色所示).,例2-2 试写出圆杆在拉伸和扭转联合作用下的屈服条件.,解 杆内的各点的应力为,其它不为零.,将这些代入Mises条件得到,由第一章已知应力状态求主应力的方法得到主应力为:,得,根据Tresca条件有:,例2-3 一内半径为 , 外半径为 的球形壳, 在其内表面上作用均匀的压力 . 试写出其屈服条件.,解 由于壳体几何形状和受力都是对称于球心, 是球对称问题. 这样壳体内剪应力分量必为零, 否则就不是球对称了.各点只有正应力分量, 并且有 主应力排序为,最大剪应力为,代
9、入Tresca和Mises条件发现它们有一样的屈服条件:,4 后继屈服条件及加,卸载准则,1. 后继屈服条件的概念,从单向应力谈起, 如图所示我们曾经提到过初始屈服点和后继屈服点的概念. 对应于复杂应力,就有初始屈服面(比如我们前面提到的屈服条件)和后继屈服面.,后继屈服点,初始屈服点,初始屈服面,后继屈服面,如右图所示, 一点应力状态O,随加载达到初始屈服面 A点,再加载到达后继屈服面 B点, 此时卸载再加载再到达 后继屈服面 C点,然后再加载到达后继屈服面 D点.,很显然, 对于硬化材料, 后继屈服面是不断变化的. 所以后继屈服面又称为硬化面或加载面, 它是后继弹性阶段的界限面. 确定材料
10、是处于后继弹性状态还是塑性状态的准则就是后继屈服条件或称硬化条件. 表示这个条件的函数关系称为后继屈服函数或硬化函数, 或加载函数. 后继屈服不仅和当时的应力状态有关, 而且和塑性变形的大小及历史(即加载路径)有关, 表示为,其中 称为硬化参数,表示塑性变形的大小及历史. 后继屈服面就是以 为硬化参数的一族曲面, 我们要研究后继屈服面的形状以及随塑性变形的发展的变化规律.,对于理想塑性材料后继屈服面是不变化的, 与初始屈服面重合.,2. 加, 卸载准则 对于复杂应力状态, 六个应力分量都可增可减, 如何判别加载和卸载, 有必要提出一些准则.,(1)理想塑性材料的加载和卸载准则. 理论塑性材料是
11、无硬化的, 屈服条件与加载历史无关, 初始屈服面和后继屈服面是重合的. 即,屈服面,法线方向,加载,卸载,的梯度方向,如图所示,弹性状态;,加载;,卸载.,(2)硬化材料的加,卸载准则.,中性变载,加载,卸载,后继屈服面,对于硬化材料,后继屈服面和初始屈服面不同, 与塑性变形的大小和历史有关.,加,卸载准则为:,加载;,中性变载;,卸载.,中性变载是指不产生新的塑性变形.,2-6 几种硬化模型,加载曲面 是怎样变化的? 这个变化是复杂的, 主要是因为材料塑性变形后各向异性效应显著. 为了便于应用不得不对它进行简化.,1. 单一曲线假定. 单一曲线假设认为,对于塑性变形中 保持各向同性的材料,在
12、各应力分量成比例增加的情况下, 硬化弹性可以用应力强度和应变强度的确定关系来表示,这个关系的确定可以用简单的拉伸实验来定.,材料硬化条件要求切线模量 为正. 另外还要求,2. 等向硬化模型. 这个模型认为加载面在应力空间中作相似的扩大. 仍然保持各向同性. 硬化条件可以表示为,其中 为初始屈服面.,K表示所经历的塑性变形的函数. 一种假设是硬化程度只是总塑性功的函数, 而与应变路径无关, 即 . 另一种假设是定义一个量度塑性变形的量,用它来量度硬化程度 .,对于Mises屈服条件. 初始屈服条件为,它的等向硬化加载条件变成,F可由单向实验来定. 它们是一系列同心圆.,3. 随动硬化模型. 假定在塑性变形过程中, 屈服曲面的大小和形状不变, 只是应力空间内作刚体平移. 随动强化加载曲面可表示为,叫移动张量, 它有赖于塑性变形量. 有文献指出,加载曲面沿应力点的外法线方向移动, 加载曲面可写成,对于Mises屈服条件有,可由简单拉伸实验来定.,屈服曲线的变化如图.,4. 组合硬化模型,