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1、第十五章 电路方程的矩阵形式 15-1 割集 前面讨论了电路的分析方法：回路分析法、结点电压法、建立方程 ，当方程的个数少时，人工解可求出未知量，当电路方程多，只有依靠计算机进行了-电路的计算机辅助分析与设计。 就要求方程以矩阵的形式表示，怎样建立这种以矩阵表示的方程呢？ 割集：连通图G的一个割集是G的一个支路集合:1、当移去割集时，G分成两部分，2、若少一个，则图G仍将是连通的。 例如：图G的割集：Q1 Q2 Q3。Q7 Q1 ：a、d、f若移去a、d、f则节点（1）与c、b、e构成两部分，移去支路并不移去连接的两个节点。 但支路集合（a、d、e、f）和（a、b、c、d、e）则不是G 的割集
2、。 因为（a、d、e、f）若少移去一条支路，则G 仍分成两部分，也即必须加两条才变成连通的。,第十五章 电路方程的矩阵形式,a,b,c,d,e,F,Q1,b,c,e,a,b,c,d,e,少移去一个仍连通,移去割集G分成两部分,a,b,c,d,e,f,Q3,a,b,c,d,e,f,Q4,a,b,c,d,e,f,Q5,a,b,c,d,e,f,Q6,a,b,c,d,e,f,Q7,找割集的方法：用闭合曲面包某几个结点（但不可全包），则切割的那些支路是一个割集。 独立割集：方程数与割集数相等，因为KCL方程适合于任何曲面。 一个包含若干个结点的曲面可列一个KCL方程，总共可列出与割集数相等的方程数，但这
3、些方程数并不一定是线性独立的。 与线性独立相对应的那些割集称为独立割集， 借助树确定独立割集的方法：,（1）与树对应的连支集合不能构成割 集： 因为移去全部连支，则剩下的是树，而树是连通的，不能分成两个部分,T1,T2,G,bt,L1,L2,L3,（2）基本割集：（又称单树支割集） 一条树支+相应的一些连支构成支路集合。,对于下图中移去bt，则树分成两部分T1和T2，所以连支L1、L2、L3和树支bt构成割集。 对于n个结点，有n-1树支，所以有（n-1）个基本割集，基本割集是独立割集组。 对于n个结点，独立割集数有（n-1）个 独立割集组不唯一，因为选树不唯一,例：选（2346）为树，则基本
4、割集组为Q1 （21578）、Q2（3158）、Q3（415）、Q4（6578） 独立割集数=树支数,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,Q1,1,2,3,4,5,6,7,8,Q2,1,2,3,4,5,6,7,8,Q3,1,2,3,4,5,6,7,8,Q4,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 一、关联矩阵及有关方程：,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2,6 i6,1 i1,相关联：一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联 关联矩阵：Aa它的行-结点 列-支路 每个元素定义如下：ajk=+1表示支路K与结点j关联且它的方向背离结点。 ajk=-1表示支
5、路k与结点j关联且它的方向指向结点。 ajk=0表示支路k与结点j无关联。 例：对于图15-4所示的有向图，它的关联矩阵为：,Aa=,结点,支路,关联矩阵特点：1、每一列只有两个非零元素+1或-1 2、n个不是独立的 降阶关联矩阵：Aa的任一行划去而剩下的元素构成的矩阵 例：上面 划去An第4行,A=,此时，A中某一此列只有+1或-1，这列必与划去的结点相关联一支路，相对应。被划去的行（结点），可当作参考结点。,电路中b 个支路电流用b阶列向量表示： 用A（n-1）b左乘ib1得（n-1）行的列向量,例：上面的A 则,（1）,（3）,u1,取-1,取+1,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2
6、,6 i6,1 i1,3,6,5,1,1,3,6,2,2,6,4,5,3,1、连支放在前面 2、取连支方向为绕向 3、将出现一个单位子矩阵,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2,6 i6,1 i1,3,6,5,1,1,3,6,2,6,4,5,3,2,3 i3,4 i4,5 i5,2 i2,6 i6,1 i1,例,3,2 i2,1,Q1,4,5 i5,1 i1,Q2,4,2,6,1,Q3,独立割集数=3，选一组割集如图，则对应的割集矩阵为：,（b）,基本割集矩阵：选一组单树支割集为一组独立割集，用Qf表示 写Qf时，把（n-1）树支放在前n-1列，后写连支，树支方向为割集方向。则Qf=ItQL
7、 例：上例中选3、5、6为树支，一组单树支割集见（b）,因为属于一个割集所有支路电流的代数和等于零，曲面包结点，流入出结点电流和为0 所以：Qi=0-Q矩阵表示的KCL方程,例：上例独立割集（b）则,电路中（n-1）个树支电压，可用（n-1）阶列向量表示，即： ut=（ut1 ut2。ut（n-1）T 因为选独立割 集一般是选单树支割集，所以树支电压又是独立割集电压。 因为Q反映了支路与割集的关联情况，所以由矩阵相乘规则有： u=QfTut-Q矩阵形式表示的KvL方程 例：上例中若选3、5、6为树支，则u=u3 u5 u6 u1 u2 u4,Uk,Ik,Iek,Zk(Yk),Isk,Usk,U
8、sk独立电压源,Isk独立电流源,例：电路如图15-9。用矩阵形式列出回路的回路电流方程,Is1,R1,jL4,jL3,1/jC5,Us2,R2,(a),1,2,3,4,5,1,2,(b),解；有向图见b选取1、2、5为树支，两个单连支回路1、2见（b）,15-5 结点电压方程的矩阵形式 由前面可知：u=ATun Ai=0 i-支路电流列向量 采用复合支路为：（仅增加了受控电流源，不允许受控电压源） 1、当支路中无受控电流源时，无电感耦合 IK=YKUek-Isk=YK(UK+Usk)-Isk 对整个电路有：I=Y（U+US）-IS Y-导纳矩阵,Uk,Ik,Iek,Zk(Yk),Isk,Us
9、k,Uek,Idk,2、当无受控源，但有耦合时， 由前面的讨论知：支路阻抗矩阵Z不再是对角阵，其主对角线元素为各支路阻抗，其余的为互感阻抗。若令Y=Z-1， 则由U=Z（I+IS）-US得 YU=I+IS-YUS 或I=Y（U+US）-IS与上式形式同，但Y不同。 3、含有受控源时：设第K支路含有受控源并受第j支路的电压Uej 或电流Iej控制，如图，Idk=gkjUej或Idk=kjIej,Uk,Ik,Iek,Zk(Yk),Isk,Usk,Uek,Idk,Uj,Ij,Iej,Zj(Yj),Isj,Usj,Uej,此时，第K支路有； Ik=Yk（UK+USK）+Idk-Isk 在VCCS情况下
10、，上式Idk=gkj（Uj+Usj） 因为Iej=YjUej=Yj（Uj+Usj） 在CCCS情况下，上式Idk=kjYj（Uj+Usj）,重点，必考,例：电路如图15-12所示，图中元件的数字下标代表支路编号。列出电路的结点电压方程（矩阵形式）,3,1,6,2,5,4,R5,R3,C6,is4,R4,is3,L1,L2,解：有向图（b），选4为参考结点，关联矩阵；,(a),(b),=,1,5,3,6,2,4,0,R2,R1,C3,is4,is1,us2,0,L5,L6,u1,id2,C4,id4,i6,us4,电流源向量：IS=IS1 0 0 -IS4 0 0T US=0 -US2 0 US
11、4 0 0T 支路方程的矩阵形式为：,G4,G2,G1,G3,+,_,+,_,g23u3,g31u1,u3,u1,is1,例：对于图示电路，试写出节点电压的矩阵形式。,1,3,2,15-6 割集电压方程的矩阵形式 由前知 u=Qtfut 即支路电压可用树支电压表示。但当所选独立割集不是基本割集组时（含一个树支），这时割集电压系指被割集划分的两部分结点之间的电压，可理解为一种假想的电压，像回路电流一样，以割集电压为独立变量的分析法称为割集电压法。 前面已导出；KCL QfI=0 （1） KvL U=QTfUf (2) 支路方程：I=YU+YUs-Is （3） （3）代入（1） Qf（YU+YUs
12、-Is）=0 （2）代入 QfYQfTUf+YUs-Is=0 QfYQfTUt=QfIs-QfYUs-割集电压法方程 例：以运算形式写出图15-14所示电路的割集电压方程的矩阵形式，设L3、L4、C5的初始条件为零。,jL3,Is1,R1,jL4,1/jC5,is2,R2,(a),1,2,3,4,5,1,(b),Q1,Q3,Q2,Ut1,Ut2,Ut3,解：有向图（b）选1、2、3为树支，3个单树支割集如虚线示，树支电压Ut1、Ut2、Ut3也就是割集电压，它们的方向也是割集的方向， 基本割集矩阵Qf为：,j S,S(t=0),R,u（t）,L,iL,C,uc,。,。,15-8 状态方程,状态
13、变量：电路中一组独立的动态变量 例；以电容电压为变量的微分方程,us,R1,uC,i2,i1,L1,L2,R2,is,2,I,II,对于复杂的电路用“特有树”写状态方程： 特有树：树支-电压源支路和电容支路，对单电容树支割集写KCL方程， 连支-电流源支路和电感支路，对单电感树连支回路写KVL方程，消除中间变量，写成矩阵形式，得状态方程。 例15-6列出图15-19所示电路的状态方程,0,C3,C4,C2,us1,R6,G5,is9,L8,L7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,（b）,一条支路只含有一个元件,解：选树b，单树支2、3、4分别确定的割集Q2、Q3、Q4（只含有电容）写KCL方程,由连支7、8确定的基本回路（一个连支一条回路）,-状态方程 输出 方程：某些感兴趣的量与状态变量及输入量的关系式 上例中，若以结点1、2、3、4的电压作输出，则有,作业；17-8,本章小结：1、回路电流方程的矩阵形式 2、结点电压方程的矩阵形式 3、割集电压方程的矩阵形式 4、状态方程,