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1、第四章 随机信号通过线性系统的分析,主要内容： 随机信号通过线性系统的分析，是统计信号处理的基础。本章介绍了计算线性系统（连续系统和离散系统）输出二阶统计统计特性的两种基本方法时域中的卷积法和频域分析法；讨论了线性系统输出端概率密度的计算问题；定义了系统的等效噪声带宽等概念。,第四章 随机信号通过线性系统的分析,重点及其要求： （1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4.若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统
2、的带宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。,第四章 随机信号通过线性系统的分析,（2）学会运用时域中的卷积法和频域分析法，计算平稳随机信号激励下系统输出的二阶统计特性，计算高斯随机信号激励下系统输出端的概率密度。 （3）会计算系统的等效噪声带宽。,4.1 线性系统的基本理论,离散和连续时间系统 双侧系统和单侧系统,（一）时不变线性系统,图4.1 线性系统示意图,4.1 线性系统的基本理论,若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有,则称系统为线性系统。,若输入信号x(t)时移c段时间
3、，输出y(t)也只引起一个相同的时移，即,则称系统为时不变系统。,满足上两式的系统称为线性时不变系统。在无线电设备中，常遇到的低频RC放大器、线性滤波器等都属于这一系统。,4.1 线性系统的基本理论,设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则系统输出由卷积积分得到,（二）连续时不变线性系统,如果x(t)和h(t)绝对可积，即,那么它们的傅立叶变换存在，即,4.1 线性系统的基本理论,设y(）是输出y(t)的傅立叶变换，则有,通常上式中以 代替j，可把上式写成拉氏变换的形式，即,H(s)与h(t)是一对拉氏变换对，即,4.1 线性系统的基本理论,如果系统的单位冲激响应满足,那么该系统称为因果系统。
4、所以实际运行的物理可实现系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说,物理可实现的稳定系统的传递函数H(s)之所有极点都位于s平面左半面（不包含虚轴）。,4.1 线性系统的基本理论,离散时不变线性系统输出y(n)与输入x(n)之间的关系是,（三）离散时不变线性系统,如果x(n)和h(n)绝对可和，即,那么它们的离散傅立叶变换存在(T=1)，即,4.1 线性系统的基本理论,设y(ej）是输出y(n)的傅立叶变换，则有,若在上式中令 ，则有,H(z)与h(n)是一对拉氏变换对，即,式中l表示包含 所有极点的单位圆。,4.1 线性系统的基本理论,如果系统的单位冲激响应满足,那么该系统称为因果系统。所
5、以实际运行的物理可实现系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说,物理可实现的稳定系统的的极点都位于z平面的单位圆内。 以下分析讨论中，均限定系统是单输入单输出的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,1.输出的表达式 如果现在输入为对应于随机信号X(t)某个实验结果的一个样本函数x(t, )，由于样本函数是确定性的时间函数，则有,（一）时域分析方法,对于不同的，就可在系统输出端得到一族样本函数，这族样本函数构成一个新的随机信号，记为Y(t),此时可将上式写为,积分在均方意义下存在。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,2. 输出的均
6、值 已知输入随机信号的均值，求系统输出的均值。,3. 系统输入和输出之间的互相关函数 当系统的输出是输入随机信号作用于系统的结果时，输出与输入将是相关的，其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,同理,4. 系统输出的自相关函数 已知输入随机信号的自相关函数，求给定系统输出端的自相关函数。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,此外还能给出输出自相关函数 与 及 之间的关系式，即,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,5. 系统输出的高阶矩,下面不加证明地给出输出n阶矩的一般表达式,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,（1）. 双侧随机信号 在这
7、种情况下，系统相应在t=0时已处于平稳。假设X(t)具有平稳性和遍历性，则在系统输出端可得到下列几条重要结论。,（二）系统输出的平稳性及其统计特性计算,1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,若用卷积形式表示输入与输出的互相关函数及输出的自相关函数为,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,2. 若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。,3. 若输入X(t)是宽遍历的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。,证明：由X(t)的宽遍历性定义得,同理可证明,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,例4.
8、1 如下图的低通RC电路，已知输入X(t)是宽平稳的双侧随机信号，自相关函数为 的白噪声，求： （1）输出的自相关函数； （2）输出的平均功率 ；（3）输入与输出的互相关函数 。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,解： （1）有题意得：,输出自相关函数为,因此对于白噪声输入情况，输出自相关函数正比于单位冲击响应函数的卷积。于是有 当 时,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,由于自相关函数的偶对称性，则当 时有,所以自相干函数为,（2）在上式中，令0，则可得输出的平均功率为,事实上电路的半功率带宽f为,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,于是输出功率改写为,由此可见电路的输出平均功
9、率随着电路的带宽变宽而线性地增大。,（3）,同理,习 题,4.1 如下图的低通RC电路，已知输入X(t)是宽平稳的双侧随机信号，自相关函数为 ，求： 输出的自相关函数；,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,（2）. 单侧随机信号 在这种情况下，随机信号在t=0时刻作用于系统的，如下图所示。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,设X(t)是宽平稳的，则有,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,例4.2 如下图的低通RC电路，已知输入X(t)是宽平稳的单侧随机信号，自相关函数为 的白噪声，求： （1）输出的自相关函数； （2）输出的平均功率 ；,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,解
10、： （1）由题意得：,输出自相关函数为,当 时,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,同理 当 时,最后得,平均功率为,显然是非平稳的。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,在系统输入为随机信号的情下，由于随机信号样本 函数的傅立叶变换不存在，因此不能直接利用分析确定信号输入时的结果。然而当系统的输入输出为平稳随机信号时，输入和输出的功率谱是存在的。这样就可以利用傅立叶变换分析系统输出的功率谱密度与输入功率谱密度之间的关系。 在以后的讨论中假定输入信号是平稳双侧随机信号。,（三）频域分析法,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,（1）系统输出的均值,（2）系统输出的功率谱密度,（3）系
11、统输入和输出间互谱密度,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,例4.3 求下图所示电路中由热噪声源 产生的电压 的功率谱密度 。,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,解： 电压V(t)可看作具有输入 ，而传递函数为,的系统输出。已知热噪声源的功率谱密度为,式中K为玻尔兹曼常数，T为热力学温度，R为电阻。于是有,4.2 随机信号通过连续时间系统的分析,（4）系统输出的平均功率计算,或前所述,习 题,4.2 电路如下图所示。设平稳随机过程信号X(t)的自相关函数 ,试求电路输出随机信号Y(t)的自相关函数 。,4.3 随机信号通过离散时间系统的分析,1.输出的表达式,（一）时域分析方法,2.
12、输出的均值，自相关函数和互相关函数,4.3 随机信号通过离散时间系统的分析,当输入为双侧平稳随机信号时，我们有,则输出的均值，自相关函数和互相关函数简化为,习 题,4.3 设一个平稳离散时间双侧随机信号X(n)的自相关函数 ，线性系统的单位冲击响应是,式中|r|1。若X(n)是输入，Y(n)是输出，求输出自相关函数。,4.3 随机信号通过离散时间系统的分析,（二）频域分析方法,1.功率谱密度表达式,式中,4.3 随机信号通过离散时间系统的分析,对输出谱密度两边取反z变换，得系统输出的自相关函数,式中l为z平面上包含 所有极点之单位圆。将 代入，则相关式子可表示为,输出的自相关函数的另一表达式为
13、,4.3 随机信号通过离散时间系统的分析,例4.4 设一个平稳离散时间双侧随机信号X(n)的自相关函数 ，线性系统的单位冲击响应是,式中|r|1。若X(n)是输入，Y(n)是输出，求输出功率谱密度,解：,于是有,由于,则系统输出功率谱密度为,4.3 随机信号通过离散时间系统的分析,2.输出平均功率计算,式中l代表z平面上的单位圆。,4.4 等效噪声带宽、平均功率和信噪比的计算,一般而言，当系统的H()比较复杂时，计算 系统输出特性是不容易的。在实际中，为了计算方便，而又不引入太大的误差，常用一个幅频特性为矩形的理想系统等效代替实际系统H()，在等效时要用一个非常重要的概念等效噪声带宽。 等效的
14、原则：理想系统与实际系统在同一白噪声激励下，两个系统的输出平均功率相等；理想系统的增益等于实际系统的最大增益。,（一）系统等效噪声计算,4.4 等效噪声带宽、平均功率和信噪比的计算,频域中计算系统的等效噪声带宽的公式为,对于低通滤波器，,对于具有以中心频率0对称的频率响应的带通滤波器带通滤波器,4.4 等效噪声带宽、平均功率和信噪比的计算,我们可以得到在时域中计算系统的等效噪声带宽的公式为,对于低通滤波器，,对于带通滤波器带通滤波器,4.4 等效噪声带宽、平均功率和信噪比的计算,证明：利用Parseval定理来证。该定理的内容是：对于可积函数f(t)，若它的傅立叶变换存在，则有,对于低通滤波器,