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1、2.3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念.,定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)，即 F(x)P Xx.,易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,2.4 连续型随机变量 一、概率密度,1. 定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X f(x) , (-x+),密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)0，(-x)； (2)归一性,性质(1)、(2)是密度函数的充要
2、性质；,例 设随机变量X的概率密度为,求常数a.,密度函数的几何意义为,(3),(4) 若x是f(x)的连续点，则,例 设随机变量X的分布函数为求f(x),（5） 对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0。 于是,例 已知随机变量X的概率密度为 (1)求X的分布函数F(x), (2)求P-11,二、几个常用的连续型分布,1. 均匀分布 若Xf(x),则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 XU(a, b),对任意实数c, d (acdb)，都有,例 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的
3、概率,15,45,解：设A乘客候车时间超过10分钟 X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),2. 指数分布 若 X,则称X服从参数为 0的指数分布。其分布函数为,若 X ( ),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为20的指数分布 (1)求该电子元件寿命在10年到20年之间的概率。 (2)已知该电子元件已使用了50年，求它还能使用30年的概率为多少？,解,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3. 正态分布,A,B,A，B间真实距离为，测量值为X。X的概
4、率密度应该是什么形态？,其中 为实数， 0 ，则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为XN(, 2).,若随机变量,(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称； maxf(x) f() .,正态分布有两个特性：,(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0, 1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P301附表2)如，若 ZN（0，1）,（0.5)=0.6915, P1.32
5、Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066,注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则,例 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至少有 一次误差的绝对值不超过10米的概率 大于0.9 ?,解,例7,设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米,故至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求.,例 设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?,例 设 XN(,2),求 P-3X+3,本题结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为P|X|3 1，忽略|X|3的值. 如在质量控制中
6、，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.,例 3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,3 原理,标准正态分布的上 分位数 z,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 z 为X 的上 分位数,z,常用 数据,例 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则 YB(3,p),其中,