第四章弹塑性波的相互作用(11-10).ppt

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1、1,第四章 弹塑性波的相互作用,对于线弹性材料,加载和卸载遵循同样的应力-应变关系,在热力学上是可逆过程;加载波和卸载波没有本质差别;弹塑性波的相互作用时,由于应力应变关系的非线性,叠加原理不再成立;另一方面,弹塑性材料的加载和卸载遵循不同的应力-应变关系,在热力学上不可逆过程,因此,要区分加载过程还是卸载过程. 两波相遇可看成是内撞击过程, 处理原则:界面两侧质点速度相等(连续条件)和应力相等(反作用力),两侧各自满足波阵面上动量守恒条件.,2,一种 弹塑性加载波的相互作用; 二种：卸载波的相互作用;,第四章 弹塑性波的相互作用,3,4.1 弹塑性加载波的相互作用 4.1.1 强间断塑性波的

2、迎面加载 问题: 长为L的均匀等截面杆,原先处于静止的自然状态.两端突然受到突加恒速冲击载荷,右端X=L处v3 0,在左端v40.讨论杆中的弹塑性波的传播.,第四章 弹塑性波的相互作用,4,分析: 杆中波的传播 ：撞击面开始,从杆的左端向右传播弹塑性强间断拉伸波,同时从杆的右端向左传播弹塑性强间断拉伸波,但由于初始冲击速度不同,引起应力扰动幅度不同。两波相遇之前,和前面讨论的半无限长杆中的弹塑性简单波完全相同. 线弹性材料中,弹性波波速 和塑性波波速均为常数;,第四章 弹塑性波的相互作用,5,0区： 恒值区; 1，2区：两弹性波迎面传播 简单波区,第四章 弹塑性波的相互作用,6,3，4区：塑性

3、波 : 右行波:,第四章 弹塑性波的相互作用,7,5区：两弹性波相遇，发生内撞击.两弹性波的应力幅值等于弹性极限Y,相互作用后的反射加载波就必为塑性波.波阵面动量守恒条件,在两波相遇界面的两侧有:,右侧:,左侧:,第四章 弹塑性波的相互作用,8,第四章 弹塑性波的相互作用,在界面上满足质点速度相等和应力相等条件,即有: 由上述方程联立求解得: 此后,右行内反射塑性波ab与左行入射塑性波lb相遇于b点,左行内反射塑性波与右行入射塑性波oc相遇于c点.由此产生的二次内反射塑性波bd和cd相遇于d点.,9,6区：两塑性波的内撞击区，有 或可直接写出,第四章 弹塑性波的相互作用,10,7区：两塑性波的

4、内撞击区，有,8区：两塑性波的内撞击区，有,第四章 弹塑性波的相互作用,11,作出 ,由于引入了 ,非线性的特征相容关系线性化.,第四章 弹塑性波的相互作用,12,Xt 图、 图 -v 图,第四章 弹塑性波的相互作用,13,4.1.2 弱间断弹塑性波的迎面加载 对于递减硬化材料 ，其塑性波速 不再是恒值，塑性波将以连续波的形式传播。 把连续波看作是一系列间断的增量波，则连续弹塑性加载波的相互作用可以转化成一系列间断的增量波相继的相互作用。每两个加载增量波相遇时发生内反射加载，而波速随之减小。因此，在X-t图上两连续简单波相互作用后的特征线是斜率的绝对值 逐渐减小的曲线。,第四章 弹塑性波的相互

5、作用,14,例: 长为l 的均匀等截面一维长杆，杆为递减硬化材料，其初始状态对应于va ,a（0）状态，杆两端分别受到渐加载荷到vc和vb后均保持恒值，有vY vc va vb 。分析波的传播规律. 连续波的动量守恒条件: 代替强间断的动量守恒条件:,X,第四章 弹塑性波的相互作用,15,第四章 弹塑性波的相互作用,杆中迎面传播两弱间断弹塑性拉伸波的相互作用,16,杆中迎面传播两束弱间断弹塑性拉伸波,在相遇前是已知的简单波,且有,式中: 在波阵面上:,第四章 弹塑性波的相互作用,(4-1-1),17,两束波最早在a点相遇，而最后于d点相互作用完毕，这中间可看成是一系列间断增量波一个接一个地相继

6、相互作用过程。作用完毕状态对应的解可由于下式求得： (4-1-2) 可以根据(4-1-1) 式和(4-1-2)来求解vb、vc、vd、b、c、d。,第四章 弹塑性波的相互作用,18,(1),(2),(3),(4),第四章 弹塑性波的相互作用,19,这实际上体现了引入Riemann积分后，v-的线性化关系，此时塑性加载波的相互作用就可应用叠加原理。,第四章 弹塑性波的相互作用,20,弹塑性波传播问题中，经过（X，t）平面上任一点的特征线的切线斜率（特征方向）是该点状态的函数,特征线bd和cd上各点的状态尚未确定，则特征线本身的位置就无法确定。,把特征线ab和ac分别分成m段和n段，根据分割点做出

7、相应的特征线将相互作用区域分成许多小网格，近似认为网格内的质点速度、应力等参量值是相等的。,第四章 弹塑性波的相互作用,21,于是特征线段Qs的斜率可近似按Q点的状态来确定，特征线段Rs的斜率可近似按R点的状态来确定。,依此类推，可确定全部网格点的位置和状态。,第四章 弹塑性波的相互作用,S点的位置：,S点的状态：,22,4.2 卸载波及其控制方程 弹塑波和弹性波的差别主要体现在卸载上，因此在处理既有加载又有卸载的弹塑性波的传播问题时，必须区分不同的质点在不同的时刻是处于加载过程还是卸载过程。或者说，在Xt图中必须要区分出是塑性加载区还是卸载区，找出随着应力波的传播和相互作用时这两区边界的变化

8、或传播情况，而这两个区又分别遵循不同的控制方程。为此，我们先要建立卸载波的控制方程。,第四章 弹塑性波的相互作用,23,弹性卸载假定：从卸载塑性变形所达到的应力 和 应变 卸载时，不论卸载后重新加载，而应力不再超过 ，则应力应变间有线性关系，且斜率等于加载曲线弹性部分的初始斜率，即遵循于弹性加载时相同的 定律。,第四章 弹塑性波的相互作用,24,卸载开始的应力值m在杆中不同截面处不一定是相同的。但是卸载开始后，只要不重新进入塑性加载，该值就不随时间发生改变与t无关），而仅仅是X的函数。,第四章 弹塑性波的相互作用,25,消去 得 和 为未知函数的一阶偏微分方程组 或者写成,控制方程,第四章 弹

9、塑性波的相互作用,26,用特征线求解可得:,消去 得到已 和 为未知函数的一阶齐次线性偏微分方程组,特征线方法求解,卸载波以弹性波速C0传播.,第四章 弹塑性波的相互作用,27,卸载扰动本身的传播和塑性加载-弹性卸载区边界的区别: (1)卸载扰动本身的传播 即为卸载波,沿着特征线传播,在弹性卸载假定的基础上 波速为C0. (2)弹-塑性边界(塑性加载-弹性卸载区边界),其传播轨迹由弹性卸载扰动与塑性加载扰动相互作用后的结果决定,一般不沿特征线传播,传播速度在求解过程中由具体情况确定. (3)在特殊情况下两者重合. 表示卸载过程中的弹塑性边界,这一边界的传播速度为,第四章 弹塑性波的相互作用,2

10、8,弹塑性加载和弹性卸载的情况下, 问题归结为:若初始条件和边条件给定,联立解弹塑性加载区的偏微分方程和弹性卸载区的偏微分方程,而在两区的边界 上满足连续条件和动量守恒条件.,第四章 弹塑性波的相互作用,29,4.3.1 线性硬化杆中强间断波的突然卸载 分析: tt1 2）t=t1 ,有卸载波以C0追赶塑性波C1,3区状态为:,应力卸载到零,但仍有残余变形和残余质点速度.,本构模型,4.3 强间断卸载扰动的追赶卸载,第四章 弹塑性波的相互作用,30,3) 时,卸载波追赶上塑性加载波.则有,塑性变形区的长度为:,第四章 弹塑性波的相互作用,31,4) 当 时,卸载波追赶上塑性波,卸载波通过后应力

11、卸载为零,质点速度不为零. 左端残余质点速度为 ,右端卸载波与弹性加载波相互作用后应力为零,速度为零.这样在 界面两侧有速度差,即发生内撞击,引起二次应力波的传播. 若 ,二次应力波的幅值小于屈服极限Y. ,则二次应力波中包含塑性波. 先假设 : 在 处,第四章 弹塑性波的相互作用,32,从上式可以看出,在 的两侧应变发生间断,这一应变间断面 除以后重新发生二次塑性加载的情况下可能变化外,将保留在 处不动.这样的间断面称为驻定间断面. 驻定间断面两侧:1)应变历史不同,材料的力学性质不同(屈服强度不再相同);2) 杆不再是匀质杆;3)弹性波阻抗相同. 如果重新加载的应力波的幅值为 ,则两侧将发

12、生反射和透射. 若 则对应力波的传播没有影响.,第四章 弹塑性波的相互作用,33,在M点两侧有两弹性波传播,左边为强间断加载弹性波,传播到自由面时发生反射; 右边为强间断弹性压缩脉冲,脉冲长度为 左侧加载历史:0-1-2-3-4; 右侧加载历史:0-1-4;,第四章 弹塑性波的相互作用,34,在M点左侧有二次弹性波传播,右侧为一次强间断加载弹性波传播;,第四章 弹塑性波的相互作用,35,在M点左侧有二次弹性波传播,右侧为强间断塑性加载波传播;卸载波追赶上塑性加载扰动相互作用后塑性波被削弱,应力幅值减弱.左边的二次弹性加载波达到自由面后被再次反射,形成二次卸载扰动.,第四章 弹塑性波的相互作用,

13、36,第二个驻定间断面形成时间：,其中：,代入得：,第二个驻定间断面位置：,第四章 弹塑性波的相互作用,37,第二个间断面左侧达到的最大应力：,代入上述各区状态值，可得,第四章 弹塑性波的相互作用,38,当这一卸载扰动在某处追赶上被削弱了的塑性加载波时,形成第二个应变驻定间断面,使塑性加载波再次削弱.由此类推,每一次的循环卸载中,就相应地形成一个驻定应变间断面,塑性波就被削弱一次,直到塑性波被削弱到完全消失.,引入,则第（n+1)个驻定间断面位置 的长度是第n个驻定间断面位置 的 倍。,第四章 弹塑性波的相互作用,39,每一卸载循环形成一驻定应变间断面时，最大应力降为原来的,。相应的最大应力分

14、布长度增至 倍。,有,第四章 弹塑性波的相互作用,残余变形沿杆的分布曲线；残余变形集中在撞击端附近，阶梯状分布（局域化的非均匀应变分布。,40,41,4.3.2线性硬化杆中连续波的突然卸载 例: 线性硬化半无限长杆中受渐加载荷,t=T0突然卸载.讨论杆中的卸载波.,分析:卸载扰动是强间断,塑性加载扰动是弱间断(连续波).可以把连续波看作一系列微小的强间断增量波.于是,上述强间断卸载扰动与弱间断加载扰动的相互作用可以看作一强间断的卸载扰动与一系列相继的微小强间断塑性加载扰动的相互作用问题.,第四章 弹塑性波的相互作用,42,t=T0时强间断卸载扰动在5区中传播,卸载波经过后,应力从 卸载到零,而

15、质点速度从 卸载到残余质点速度,第四章 弹塑性波的相互作用,43,t=T1 时刻,卸载扰动在X=L1处追赶上前方的第一个微小强间断塑性波而相互作用.由于微小强间断波阵面两侧存在质点速度差 和应力差 ,若应力卸载到零,就有残余质点速度差, 由于速度差,发生内撞击.由此产生的应力突跃,第四章 弹塑性波的相互作用,44,在一次内撞击后,塑性波的幅值从 降到了 另一方面,卸载波的强度也削弱,强度从 降到了 即 强间断卸载扰动的强度减小了 当t=T2时,卸载扰动追赶上了第二个微小强间断塑性波而发生第二次内撞击,第四章 弹塑性波的相互作用,45,第二次内撞击后,应力强度从 提高到 而塑性波强度从 降到 ,

16、因而强间断卸载扰动的强度被削弱到 比初始强度 减小了,第四章 弹塑性波的相互作用,46,依次类推,当强间断卸载扰动追赶上第i个微小塑性波而发生第i次内撞击时,残余质点速度差为 而造成相应的应力突跃为 使得卸载区重新加载到,第四章 弹塑性波的相互作用,47,而强间断卸载扰动的强度减小了,第四章 弹塑性波的相互作用,48,平面上,二次应力波强度随着相继的内撞击的发生而提高,6,7,8点.若满足 卸载强间断消失.图中点6对应于初始残余质点速度 情况,即卸载扰动与全部塑性加载相互作用后,仍能保持强间断.(点9).卸载边界传播轨迹与卸载扰动本身重合.,第四章 弹塑性波的相互作用,49,强间断卸载扰动在与

17、某一部分塑性加载扰动相互作用后,强度减小到零,即它在塑性区的某处被”吸收”而消失,不能全部通过塑性区.第一阶段结束.当卸载第一阶段中内撞击引起的左行内反射波从杆端(X=0)处再次被反射为右行”二次卸载扰动”,并追赶上来相互作用时,才会被进一步卸载.,第四章 弹塑性波的相互作用,50,4.3.3 塑性中心波的突然卸载,递减硬化材料半无限长杆中,强间断卸载扰动对弱间断塑性加载扰动的追赶卸载问题. 例:初始静止自然状态的杆, 端点(X=0)处t=0时受一突加 恒值冲击载荷 ,在t=T时刻 突然卸载到零.,见右图.,第四章 弹塑性波的相互作用,51,强调几点: 卸载开始,强间断卸载波以波速 传播,追赶

18、塑性波,塑性波波速为 . 若卸载波在与塑性波相互作用后保持强间断,则扰动本身的轨迹也为卸载边界的传播速度(弹塑性边界)的传播轨迹 A0A2可确定.,第四章 弹塑性波的相互作用,52,2) 右侧加载为塑性中心波,该侧的状态量可确定,整个塑性区的简单波关系式:,弹塑性左侧边界的卸载区未知?,卸载侧满足强间断波动量守恒条件:,此边界的卸载侧与卸载区经过A0点的右行特征线重合,满足相容条件:,第四章 弹塑性波的相互作用,53,A0点卸载前后状态满足(强间断波阵面上的守恒条件): 卸载后应力为零,即 因此,速度为 可得:,和 联立求解得,第四章 弹塑性波的相互作用,54,沿卸载边界的应力间断值为:,(3

19、)弹塑性边界的塑性加载侧最低应力幅值为Y.若应力幅值 ,仍 有 ,则强间断卸载扰动可通过整个塑性区而不消失.,卸载波若在A2点处消失,则应有,或有,由此,确定A2点的位置.第一阶段卸载边界可完全确定.,第四章 弹塑性波的相互作用,55,4) 卸载区沿特征线A0A2上的 已知,左侧杆端边条件 ,对于 ,整个卸载区边界可归结为解一个定解的混合问题(Picard问题).,若 , 三角形区内归结为解一个定解的混合问题,沿左行特征线传播的是卸载扰动与塑性加载扰动相互作用后的内反射扰动的影响,沿右行特征线传播的杆端边界的影响.t轴上任一点E的速度, 可由沿左行特征线上的相容条件得:,并有,第四章 弹塑性波

20、的相互作用,56,5)若卸载强间断在A2点消失,则此后的弹塑性边界为弱间断的连续卸载边界,在此边界上塑性加载侧的应力和质点速度与卸载侧的保持连续.有,困难:此边界的传播轨迹并不知道.,塑性加载区沿左行特征线BG上的相容条件有: 卸载区,右行特征线BE,上述四个方程可解出,第四章 弹塑性波的相互作用,57,共轭关系: 第二段卸载边界上任一点可由第一卸载边界上相应的点确定,A,B共轭点.,由共轭关系可求得整个卸载边界. 边界上的状态求出,杆端边条件给定,因此,整个卸载区的解可化为各类定解的边值问题,如混合问题,特征边值问题等,整个问题可求.是一个混合问题.,第四章 弹塑性波的相互作用,58,总结:

21、 材料的本构关系已知,初边值条件确定,卸载在一开始是强间断(突然卸载),塑性加载扰动不论是强间断或弱间断,半无限长杆中的卸载扰动对塑性加载扰动的追赶卸载都可以求解. 特点:由于初始卸载扰动的强间断性,边界的开始一段是强间断边界,和强间断卸载扰动本身的传播轨迹相重合,因而是可以确定的.随后的边界可通过共轭关系可以确定卸载边界.,第四章 弹塑性波的相互作用,59,回顾:问题:若一有限长的弹性杆,原来处于静止的自然状态,杆的左端受到冲击载荷v10,v20,取坐标轴向如图. 分析:杆中从左端有向右传播的强间断压缩波,从右端向左传播的强间断拉伸波.两波相遇,其相互作用相当与迎面卸载. 如果从杆左端卸载：

22、 右端卸载(应力波的幅值 )：,4.4 迎面卸载,X,60,上两式不同之处（应力卸载为0，但两种卸载方式中质点速度不相同）,两者速度差为 若杆的初始状态对应于 上的2点(塑性状态). 从杆左端弹性卸载到应力为零时，右行卸载波的状态对应于图中点 ,残余质点速度,第四章 弹塑性波的相互作用,61,从杆的右端卸载到应力为零时 ，此左行卸载波的状态按左行强间断波阵面上的动力学相容条件, 对应于图中R点,卸载后质点速度为 两种卸载的速度差为,第四章 弹塑性波的相互作用,62,问题:线性硬化材料的有限长杆,原来处于静止的自然状态,杆的左端受到冲击载荷v10,v20,取坐标轴向如图.,分析:左端向右传播的弹

23、塑性压缩波,在X-t图上的1,2区. 右端向左传播的弹塑性拉伸波,在X-t图上的3,4区.,第四章 弹塑性波的相互作用,63,1）两弹性前驱波相遇 a点，应力幅值 Y相等，符号相反，相互作用后应力卸载到0，而速度 ; 2）左行内反射卸载波 ab 与右行塑性加载波ob 相遇于b点. 如果b点左侧在卸载波通过后应力卸载到零时,质点速度则为 这样,在b点两侧存在质点速度差 , 发生内撞击.,第四章 弹塑性波的相互作用,64,右行内反射波bd和左行内反射波cd在d点相遇于点10,在 平面内落在弹性应力范围内,因此从d点出发的两个波都是弹性波,至此,两异号的弹塑性应力波的相互作用结束.,1) 若 内撞击

24、产生的两个应力波均为弹性波,6点,8点.,第四章 弹塑性波的相互作用,65,2) 内撞击后所产生的内反射波将仍然包含塑性波，但强度减弱。,第四章 弹塑性波的相互作用,66,第四章 弹塑性波的相互作用,平头弹射击靶板上,相当于有限长杆在刚性座上的高速撞击问题,利用该实验可以测量材料的动态力学性能.(Talyor,G I;Whiffen A C; 等),子弹以 向左飞行,撞击到静止的刚性靶板时,撞击端速度突降为零,将向另一端右行传播弹塑性波.在 坐标系中,问题可化为原来处于静止和自然状态的有限长杆,一端受突加恒速载荷 ,另一端为自由端的情况.,4.5 有限长杆在刚砧上的高速撞击,67,应力幅值为

25、的右行弹塑性波在自由端反射时,自由面质点速度为:,弹性波, 则有 ; 2)塑性波,有 ,因此 ;即弹塑性波在自由端反射后达不到入射波质点速度的两倍; 3) 入射波中的塑性部分达不到自由端;达到自由端之前,被从自由端反射回来的弹性卸载波削弱,直至消失.塑性波有残余变形,而自由端应力一直保持为零,不可能产生塑性变形.,第四章 弹塑性波的相互作用,68,线性硬化杆的撞击,第四章 弹塑性波的相互作用,69,分析: 1)在弹性波到达自由端之前,和半无限长杆中一样,0,1,2,区状态:,0区:,1区:,2区:,第四章 弹塑性波的相互作用,70,时, 卸载区3中有,2),第四章 弹塑性波的相互作用,71,反

26、射卸载波AB与塑性加载波OB相遇,发生迎面卸载.假设B点左侧卸载到应力为零,质点速度为 ,与右侧质点速度 之差引起内撞击而产生内反射波BC,BD,后方状态为4区.,72,4区两侧应变不同,右侧为:,左侧为:,在X=XB处有一应变驻定间断面,第四章 弹塑性波的相互作用,73,内反射波BC是卸载波,使2区卸载到4”,BD是削弱了的加载波,使3区加载到4. 若4区仍在弹性范围内,即 上式为在杆中只产生一个塑性区,一个应变间断面的条件.BD达到自由端的反射和弹性波的相同. BC到达撞击端 X=0的情况与 有关.,74,假设撞击还在继续,杆没有从靶上跳开,则6区的状态速度应满足边条件,即 ,应力通过动量

27、守恒可得,第四章 弹塑性波的相互作用,75,则有 ,而撞击界面不能承受拉应力,因此反射波BC过后,应力只能卸载到零( ),撞击端变成自由端 , 因此,杆从靶面跳开.撞击持续时间 此后, 一弹性应力脉冲在两端均为自由面的杆中来回传播和反射.在B截面处始终保持应变间断,右侧4-7;左侧4”-7”间变化.,分析讨论:1),第四章 弹塑性波的相互作用,76,7区状态:,其中,6,5区的状态从前面的分析中可得,代入可得,根据上述分析,计算7区的应力状态.拉伸?压缩?,第四章 弹塑性波的相互作用,77,6区将承受压应力( ),因而撞击还将继续,但 ,和上述类似,撞击将在F点处结束,撞击持续时间为 .杆中仍

28、然只有一个塑性变形区.,2),78,当 时,若 再大,则在B点产生的应力幅值超过屈服极限,从B点传播一个强度被削弱的塑性波BB1和一前驱弹性波BD.此后有两种可能: (1)右行弹性前驱波BD从杆的右端反射成左行卸载波DB1.与塑性波BB1迎面相遇而发生迎面卸载;,第四章 弹塑性波的相互作用,79,(2):左行卸载波BC从杆的左端反射成右行卸载波CB2后，赶上塑性波BB2发生追赶卸载. 上述两种情况与弹性波与塑性波速之比有关.若B1和B2两点重合 则是临界状态. 第(1)种; 第(2)种;,第四章 弹塑性波的相互作用,80,塑性波在B1点处消失,从B1点向两端传播的内反射波都是弹性波.则撞击速度

29、满足的条件为 8区的状态 若满足上述条件,则应有:,(1),第四章 弹塑性波的相互作用,81,第二个驻定应变间断面的位置 撞击在F点结束,结束时间,第四章 弹塑性波的相互作用,82,时,塑性波在 B2点消失,并且不会在F点处反射塑性波(9区为弹性波).撞击在G点结束,持续时间 第二个驻定应变间断面的位置: 上述讨论中可以看到,对于受压缩冲击载荷的杆,当两卸载波迎面相遇时将产生拉应力.在一定条件下,还可能导致拉伸屈服,即相对原先发生的压缩屈服而言的反向屈服.,(2),第四章 弹塑性波的相互作用,83,4.5半无限长杆中的卸载边界的传播特性,一般情况下弹塑性边界与应力扰动应变扰动或质点速度扰动本身

30、的传播轨迹并不相同.其位置经常随时间在变化,传播速度一般随弹塑性波的相互作用过程的进行而不断地变化. 加载边界:弹性区发展到塑性区的边界; 卸载边界: 塑性区卸载到弹性区的边界; 本节主要讨论边界的传播速度与哪些因素相关.,第四章 弹塑性波的相互作用,84,沿特征线MM1的相容条件: 沿特征线MM2的相容条件: 上两式中消去 ,同时在半无限长杆中有简单波关系式,则得,(5-5-1),第四章 弹塑性波的相互作用,85,特征线MM1和MM2的表达式分别为:,对时间t求偏导数:,(4-5-2),(4-5-3),由(4-5-1)可得,(4-5-4),第四章 弹塑性波的相互作用,86,当 时,可得卸载边

31、界 上任一点M1处,在塑性简单波区,沿右行特征线NM2有:,(4-5-5),(4-5-6),第四章 弹塑性波的相互作用,87,特征线方程:,代入(4-5-6),令 可得 上任一点M1上有,(4-5-7),(4-5-8),第四章 弹塑性波的相互作用,88,(4-5-5)和(4-5-7)联立得到 上任一点M1处卸载边界的传播速度 与该点处 的关系,或解出 得:,第四章 弹塑性波的相互作用,89,表示由塑性区进入弹性区的卸载边界.,不同时为零,则有,可得:,结论:半无限长杆中卸载边界的传播速度之值在弹性波速和塑性波速之间. 过M2点的卸载边界必定落在图 中的阴影区内.,第四章 弹塑性波的相互作用,9

32、0,(1)卸载扰动在塑性恒值区中传播时 情况相同; (2)强间断卸载扰动追赶弱间断塑性波 情况相同;,第四章 弹塑性波的相互作用,91,(4)弱间断卸载扰动追赶强间断塑性波 情况相同;,第四章 弹塑性波的相互作用,92,前面的讨论中假设 不同时为零,即假设卸载边界是对于 的一阶弱间断.如果两者同时为零,则式成为不定式,必须进一步考察二阶偏导数 . 或者更需进一步考察更高阶的偏导数.,第四章 弹塑性波的相互作用,93,第四章 弹塑性波的相互作用,4.6 弹塑性边界的一般传播特性,弹塑性边界:应力波的相互作用下,不同质点在不同时刻t从塑性状态卸载进入到 弹性状态的临界点的轨迹(卸载边界),或从弹性状态(包括弹性卸载状态)进入到塑性状态的临界点的联线轨迹(加载边界). 一般情况下,与应力波扰动传播轨 迹的特征线不同.随着应力波的传播和 相互作用在变化.其传播速度为,二次塑性加载区,94,第四章 弹塑性波的相互作用,加载边界:对于随时间t的增加而由弹性区进入到塑性区的边界(包括进入到二次塑性加载区); 卸载边界:对于随时间t的增加而由塑性加载区进入到弹性卸载区的边界;,塑性加载边界:,或,卸载边界:,