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1、江汉大学文理学院,概率论与数理统计,2010年9月12月,数学教研室 梁幼鸣,027-85965056（Home）,,15994278022（Mobil）,随机变量的数字特征,第四章,1 随机变量的数学期望,退出,知识点、考点举要,一基本概念与基本结论,二基础算法与重要演算性质,连续型随机变量数学期望的求法,六个常用随机变量的数学期望,退出,随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望的求法,数学期望的算子演算性质,离散型随机变量数学期望的求法,范例、思考与练习,随机变量函数的数学期望及其一般算法,一,四,1 随机变量的数学期望,二,数学期望的定性与定量定义,退出,数学期望的算子演算性质,三,退
2、出,返回,1. 定性定义,随机变量 X 的平均取值称为其数学期望, 记为,随机变量X 对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均,一、数学期望的定性与定量定义,波动，称为 X 的方差，记为,亦即,方差实际上也是一种数学期望，是随机变量减其数学,期望的平方的数学期望. 用较为专业的术语讲，它是随机,变量的函数的数学期望.,因此，求随机变量平均取值以及随机变量对其平均取,值以偏差平方形式给出的平均波动问题，从本质上而言，,归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题.,假设在 n 个考试成绩中， xi 分的有mi个 ( i = 1, 2, , k), 那么全部考分的平均分 = ?,x1m1 +
3、+ xkmk,平均分 =,n,平均值可以怎样算？,退出,上式表明，将各种不同考分 xi ( i = 1, 2, , k) 与其在全体考生中所占的百分比 fi 相乘后再相加 结果就是全部考分的平均分 ！,一、数学期望的定性与定量定义,类似地可解释其还等于在整个平面上的重积分.,退出,返回,2. 随机变量数学期望 E ( X ) 的定量算法, 对离散型变量, 对连续型变量,或,或,【对连续变量求算公式的简短解释】,依概率密度的含义，连续随机变量在长为 dx 的区间上,因此，该随机变量在整,近似取值 x 的概率应等于,一、数学期望的定性与定量定义,个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积,在,整个实轴
4、上的全部累加之和，即应等于其在实轴上的积分,退出,返回,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,3. 六大常见分布的数学期望与分布参数的关系,运用数学期望 的定量算法可以证实,六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示,退出,返回,*1. 随机变量的常见函数、数学期望及其名称,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,是 X 与Y 与各自数学期望之差的乘积的数学期望., k 阶原点矩,【例如】,恰是 X 自身的数学期望.,X 的一阶原点矩,是 X 平方的数学期望.,X 的二阶原点矩,X 的二阶中心矩,是 X 减其数学期望的平方的数学期望., k + l 阶混合中心矩, k 阶中心矩,X 的
5、二阶混合原点矩,是 X 与Y 乘积的数学期望.,X 的1+1阶混合中心矩, k + l 阶混合原点矩,退出,返回,定理一 设一元函数 g (x) 连续，则,当 X 是连续型变量且其一维概率密度为 时,当 X 是离散型变量且一维分布律为 时,定理二 设二元函数 g (x , y) 连续，则,当 (X, Y )是连续型变量且二维联合概率密度为 时,当 (X, Y ) 是离散型变量且二维分布律为 时,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,2. 函数数学期望的一般算法,退出,( 设 C 是常数 ),又当 X，Y 相互独立时,4),3),1),2),返回,三、数学期望的算子演算性质,【选证】,若X，Y
6、 相互独立, 则,退出,返回,三、数学期望的算子演算性质,试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 与V =YZ4X 的数学期望.,解, Y , Z 相互独立,例3-1 设 X, Y , Z 相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8., ,例4 -1 已知 X 的分布律如下表所示，试求 E ( X )， E ( X 2 ) 和 E ( 2X3X 2 ).,解,退出,返回,四、范例、思考与练习,解,例4-2 已知 (X ,Y )的联合分布律如右表所示. 求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和 E ( XY ) .,显然，一般地讲
7、,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4-3 随机变量X 的概率密度,Y =2X 1 和 Y =X 2 1 的数学期望 .,试求,解,退出,返回,四、范例、思考与练习,*例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度, E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .,试求,y = x,解,x = 1,退出,返回,四、范例、思考与练习,*例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度, E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .,试求,y = x,解,x = 1,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4-5 X 和Y 相互独立, 二者的概
8、率密度,则 E (XY ) ( ).,C. 8 / 3 D. 7 / 3,C,A. 4 / 3 B. 5 / 3,退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,*例4-6 天若无雨, 水果商每天可赚100元; 天若有雨, 水果商每天损失10元. 一年365天, 贩卖水果地的下雨日约130日. 问水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱 ?,返回,水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为,解,从而水果商每天所赚钱数 X 的分布律为,即水果商每天可期望赚 60.82 元 .,100 10,四、范例、思考与练习,寿命不到一年的概率显然为,*例4-7 设备的寿命XE( ). 该设备售出一台盈利100元 ,
9、因年内损坏而调换则亏损200元. 求出售一台设备的盈利数学期望.,因此，一台设备出售的盈利值Y 有分布律,从而寿命超过一年的概率即,退出,返回,解,可见,四、范例、思考与练习,200 100,第 i 站有人下车记为Yi = 1，第 i 站无人下车记为Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 则专线车停车的次数,*例4-8 载有20名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等，且是否下车相互独立，那么若以 X 记专线车停车的次数，则 E（X）= ？,因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/10，不下车的概率为9/10，从而,，从而就有
10、,退出,返回,解,四、范例、思考与练习,任一弹着点与目标间的距离显然为,*例4-9 用( X , Y )记炮击的弹着点坐标. 设坐标XN( 0,2), 坐标Y N( 0,2) , 且二者相互独立. 试求弹着点与目标 ( 0, 0 ) 间的平均距离.,X 与Y 相互独立，且XN( 0,2), YN( 0,2), ,可见,弹,退出,返回,解,着点与目标间的平均距离应为,从而,四、范例、思考与练习,韩旭里等编概率论与数理统计教材 第四章 习题四 P112P117 批改题 P112: 1. ( 求离散变量的数学期望 ) P113: 5. 11.( 求连续变量的数学期望与方差 ) 7. ( 利用算子演算
11、性质计算数学期望与方差) 8. 9. （利用独立性简化数学期望的求算 ） 10. ( 求连续变量的数学期望 ) 12. ( 对实际问题求数学期望与方差 ),退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,返回,P112P113参考答案,四、范例、思考与练习,5.,1.,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,8.,7.,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,10.,9.,又X 与Y 相互独立，,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,11.,退出,返回,的个数为 X i （ i = 0，1，2，3 ），则有,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,记第 i 次取出次品至第 i 1 次取出次品间所取正品,12.,您真的要退出吗？,Yes,No,多媒体研制组,二0一0年十二月,概率论多媒体课件,Exit,