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1、1.2 随机变量的重要分布,1. 一维离散型随机变量的重要分布,（1）零-壹分布：如果一维离散型随机变量X只取数值0和1，分布律为 PX=0=1-p, PX=1=p, 式中的0p1， 则称X服从参数为p的零-壹分布，记作 XB (1 , p)。,数字特征E(X)=p，D(X)=p(1-p)。,注意： B (1 , p)的分布律又可记作 PX=x= p x（1-p）1-x, 式中的x=0或1。,二项分布是 Bernoulli 研究重复独立试验所 引出的一个很重要的分布。 很显然，当n=1时，参数为p的二项分布便 是参数为p的零-壹分布。 数字特征E(X)=np，D(X)=np(1-p)。,式中的
2、 0p1，x=0,1,2, , n，则称X服从参 数为 p 的二项分布，记作 XB (n , p)。,（2）二项分布：如果一维离散型随机变量,此定律说明了频率的稳定性，即n充分大时，频率在概率p的附近摆动，是用频率作为概率的理论根据。, Bernoulli大数定律: 当X是n次重复独立试验中某事件出现的次数，p是该事件出现的概率时，X服从二项分布B（n，p）。 对于任意给定的正数，总有,与二项分布有关的结论:,证明：用到B (1, p)与B (m, p)及B (n, p) 的关系。 当X1、X2、 、Xm 、Xm+1、Xm+2、 、 Xm+n相互独立且都服从B (1, p)时， Y= X1+X
3、2+ +Xm服从 B (m , p)， Z= Xm+1+Xm+2+ +Xm+n服从 B (n , p)， Y与Z相互独立，Y+Z服从B (m+n , p)。, B (1 , p)与B (n , p): 当X1、X2、 、Xn 相互独立且都服从B (1, p)时， Y=X1+X2+ +Xn服从B (n , p)。, 可加性: 当 Y 与 Z 相互独立且依次服从 B (m , p)及B (n , p)时， Y+Z服从B (m+n , p)。,时，称X服从参数为 的正态分布， 记作 XN ( ) 。,2. 一维连续型随机变量的重要分布,正态分布：如果连续型随机变量X的分布密度,当 时称X服从标准正态
4、分布，记作 XN (0,1) 。这时X的分布密度,X的分布函数,为应用方便起见，在统计用表中有F 0,1 (x)的数值表。,当XN (0,1)时，它的分布密度是偶函数，曲线 y=p(x) 关于y 轴对称。,在比较简略的统计用表中只有x=0至x=2.99所对应的F 0,1 (x)的数值。,当x2.99时，F 0,1 (x)1； 当- x 0时，F 0,1 (- x)=1- F 0,1 (x)。,当XN ( ) 时，,当XN ( 0,1 ) 时，数字特征,计算如下：,当XN ( ) 时，数字特征,1）背景：当某一随机变量取值的概率受到很多作用都比较微小的、独立的随机因素的影响时，它的分布或者是正态
5、分布或者与正态分布相接近。 2）中心极限定理: 当随机变量X1、X2、 独立同分布，数学期望为有限数E(X)，方差为非零有限数D(X)， E( ) =nE(X)，D( ) =nD(X)，且 时， N (nE(X)，nD(X)，标准化随机变量 N (0，1)。,与正态分布有关的结论:,3）中心极限定理: 当随机变量X1、X2、 独立同分布，数学期望为有限数E(X)，方差为非零有限数D(X)， E( ) =E(X)，D( ) = D(X)，且 时， N (E(X)， D(X)，标准化随机变量 N (0，1)。,与正态分布有关的结论:,推论: 当随机变量X1、X2、 相互独立且都服从B(1, p)分
6、布，p 和1-p 都不太接近于0 ，E(X i )=p , D(X i )= p(1-p ), E( ) = p，D( ) = p(1-p )，且 时， N ( p， p(1-p ) )，标准化随机变量 N (0，1)。,与正态分布有关的结论:,1)二维零-壹分布：当二维离散型随机变量(X1,X2)取值 (0,0) , (1,0) 和 (0,1) 且0p11，0p21时，若(X1,X2)的分布律为 (X1,X2) P (0,0) 1-(p1+p2) (1,0) p1 (0,1) p2 则称(X1,X2)服从参数为p1和p2的零-壹分布，记作 (X1,X2)B(1, p1 , p2)。,3. 二
7、维离散型随机变量的重要分布,2）三项分布：当二维离散型随机变量(X1,X2)=(k1,k2) , k1和k2为非负整数且k1+k2n，0p11，0p21时，若(X1,X2)的分布律为P(X1,X2)= (k1,k2) = ， 式中的 = = ， 则称(X1,X2)服从参数为p1和p2的三项分布，记作 (X1,X2)B(n, p1 , p2)。 可以推出结论：,可以推出结论： B (1 , p1 , p2)与B (n , p1 , p2): 当随机变量(X11,X12)、(X21,X22)、(Xn1,Xn2)相互 独立且都服从B (1 , p1 , p2)时， (X11,X12)+(X21,X2
8、2)+(Xn1,Xn2)B (n , p1 , p2)。 可加性: 当随机变量(Y1,Y2)与(Z1,Z2)相互独立且依次服从B (m ,p1 , p2)及B (n , p1 , p2)时， (Y1,Y2)+(Z1,Z2) B (m+n , p1 , p2)。,4. 多维离散型随机变量的重要分布 1）多维零-壹分布： 当多维离散型随机变量 (X1, X2, , Xm) 取值,(0,0, ,0), (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) 且0p11，0p21，0pm1 时， 若(X1, X2, , Xm)的分布律为 (X1,X2,Xm) P (0,0, ,0) 1-(
9、p1+p2+ pm) (1,0, ,0) p1 (0,1, ,0) p2 (0,0, ,1) pm 则称 (X1,X2,Xm) 服从参数为p1、p2、pm的 零-壹分布，记作(X1, X2, , Xm)B(1, p1 , p2,pm)。,当n个m维离散型随机变量( )相互独立 且都服从B(1, p1 , p2,pm)时，称 服从参数为p1、p2、pm的多项分布，记作 B(n, p1 , p2 , , pm)。,因为n个m维离散型随机变量( )相互 独立且都服从B(1, p1 , p2,pm)时，其中有 k 1个取(1,0, ,0)，k 2个取(0,1,0)，Km个取 (0,0, ,1)，n-(
10、 k 1+ k 2+ k m)个取(0,0, ,0) 的组合数为 ,2） 多项分布：,= 式中的k1, k2, , km为非负整数且k 1+ k 2+ k mn。,所以， 的分布律为 P =( k 1, k 2, k m) ,正态分布：当二维连续型随机变量(X,Y)的 分布密度 p(x , y) =,时，称(X,Y)服从参数为 、 、 、 及 的正态分布，记作 (X,Y)N( ) 。,5. 二维连续型随机变量的重要分布,COV(X,Y)= CORR (X,Y)= X的分布密度 p1( x)= ， Y的分布密度 p2( y)= 。 这说明二维正态分布 并不是两个一维正态分布的简单的合二而一。,可
11、以推出结论： 若(X,Y)N( )，则, cov (X,Y)= ， (X,Y)=,= p1( x) p2( y),还可以证明：若 (X1, X2, , Xm) 服从正态分布，则 每一个X i ( i=1至m)都服从一维正态分布； 任意k个( k=1至m-1)所组成的k维随机变量 (X1, X2, , Xk) 都服从k 维正态分布。,当随机变量X1、X2、Xn相互独立，其分布函数依次为F1(x1)、F2(x2)、Fn(xn)时，Y= 的分布函数,Z= 的分布函数,论述如下：根据题意 ， =PYy =PX1y,X2y,Xny =PX1y PX2yPXny ,7. max分布与min分布,论述如下：根据题意 ， =PYy =PX1y,X2y,Xny =PX1y PX2yPXny ,=PZz=1-PZz =1- P X1z , X2z , , Xnz =1- P X1z P X2zPXnz =1-1- P X1z 1- P X2z1- PXnz = 1- 1-F1(z) 1-F2(z) 1-Fn(z),特殊地，当随机变量X1、X2、Xn相互独立，,其分布函数同为F ( )时， = F ( y)n, = 1- 1-F (z) n。,因此，求 与 的关键是： 由分布密度求分布函数。,