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1、第4章 频率域图像增强,4.1 引言 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.3 平滑的频率域滤波器 4.4 锐化的频率域滤波器 4.5 同态滤波器,4.1 引言,频率通常是指某个一维物理量随时间变化的快慢程度的度量。频率值高意味着该物理量随时间变化快；频率值低意味着该物理量随时间变化慢。 例如 交流电频率为5060Hz（交流电压） 中波某电台1026千赫（无线电波）,图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，所以图像本身所在的域称为空间域（space domain）。,图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（spatial frequency）。,一维（连续）傅立叶变换 傅
2、立叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。,傅立叶变换滤波 利用傅立叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通处理），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。,低通滤波：在频率域中抑制高频信号 高通滤波：在频率域中抑制低频信号,4.2 傅立叶变换和频率域的介绍,4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换 4.2.2 二维离散傅立叶变换（DFT） 4.2.3 频率域滤波 4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的关系,4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换,条件：如果实变量函数 是连续可积的，即,一
3、维连续傅立叶变换,一维离散傅立叶变换 用N个等间隔抽样方法将连续函数f(x)离散成序列,离散傅立叶变换,用F(u)来表示F(uu)，用f(x)来表示f(xx) 且u=1/(N x),一维函数的傅立叶谱,二维连续函数 的傅立叶变换：,傅立叶变换的相角、傅立叶谱和能量谱或功率谱可由下式给出：,4.2.2 二维DFT,二维离散傅立叶变换：,M,N表示图像 在x，y方向上具有大小不同的阵列。 离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：,二维离散傅立叶变换性质,1、可分离性,顺序进行一维变换计算二维傅立叶变换,2、周期性,3、频率位移特性 ：,图像中心化,先将f(x, y)乘以因子(1)x+y，再进行离散傅立
4、叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M2, N2）处。,傅立叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱,傅立叶频谱中心化,频谱是关于原点对称的,5、旋转不变性,例：,旋转不变性 如果时域中离散函数旋转0角度，则该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。,离散傅立叶变换的旋转不变性 （a） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转45后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱,6、平均值,7、离散卷积定理,为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域加以扩展,卷积的概念,用扩展函数执行卷积的结果,当卷积周期,才避免
5、交叠误差,在空间域延拓的低通滤波器 （仅显示实部）,用延拓滤波的结果,8、离散相关定理,图像相关,(a)图像 (b)模板 (c)和(d)延拓图像 (f)水平剖面线,(e)相关函数,9、分配性和比例性,二维函数的中心谱,(a)图像 (b)中心傅立叶谱,例程 function zxft(I) %显示频谱函数 imshow(I) %显示原图像 f1=fft2(double(I); %离散傅立叶变换 f2=fftshift(f1); %直流分量移到频谱中心 r=real(f2); i=imag(f2); a=sqrt(r2+i2); %计算频谱 b=255*(a-min(min(a)/(max(max
6、(a)-min(min(a); %归一化 figure; imshow(b); %显示频谱 在MATLAB命令窗口下显示图像频谱 a=imread(cameraman.tif); zxft(a),低频分量：对应图像的慢变化分量 较高的频率：对应图像中变化较快的灰度级分量（如物体边缘和噪声等）,图像的频谱,4.2.3 频率域滤波,频域滤波的基本步骤,陷波滤波器,4.2.4 空域滤波和频域滤波之间的关系,空间域滤波 卷积运算,频率域 乘法运算,空间域和频率域中的滤波器组成了傅立叶变换对,频率域”实验室”,在频域指定滤波器，做反变换，确定空间滤波器模板的基本形状 例：高斯低通滤波器,例：高斯低通滤波
7、器,频域：G(u,v) = H(u,v) F(u,v) 其中： F(u,v)：原始图象Fourier频谱 G(u,v)：平滑后图象的Fourier频谱 H(u,v)：滤波器转移函数（即频谱） H（u,v）函数的定义，方法很多，没有唯一通用办法，针对具体情况选用不同方法。,4.3 平滑的频率域滤波器,4.3.1 理想低通滤波器,H(u,v) = 1 当D(u,v) D0 其中： D(u,v)(u2+v2)1/2是点(u,v)到频率平面原点的距离 负效：图象模糊，出现振铃效果,理想低通滤波效果（截止频率变化）,(d)截止频率为30 (e)截止频率为80 (f)截止频率为230,(a)原图像 (b)
8、截止频率为5 (c)截止频率为15,振铃现象,(a)半径为5的频率域ILPF (b)相应的空间滤波器,(c)空间域的5个脉冲 (b)空间域(b)和(c)的卷积,4.3.2 巴特沃斯低通滤波器,它的带通与带阻之间无明显的不连续性，因此无振铃现象，模糊程度减少，它的尾部有较多的高频，通过下降它的截至频率达到一些平滑效果,截止频率变化对滤波的影响,(a)原图像 (b)截止频率半径为5 (c)截止频率半径为15 (d)截止频率半径为30 (e)截止频率半径为80 (f)截止频率半径为230,(a)(d)阶数为1，2，5和10的BLPF的空间表示及相应的通过滤波器中心的灰度级剖面图,具有较平滑的过渡带，
9、无振铃现象,4.3.3 高斯低通滤波器,(a)GLPF传递函数的透视图 (b)以图像显示的滤波器 (c)滤波器截面,高斯低通滤波器滤波,(a)原图像 (b)截止频率半径为5 (c)截止频率半径为15 (d)截止频率半径为30 (e)截止频率半径为80 (f)截止频率半径为230,4.3.4 低通滤波的其他例子,(a)低分辨率的文本样本 (b)用GLPF滤波的结果,4.4 锐化的频率域滤波器,高通滤波器,4.4.1 理想高通滤波器,理想高通滤波图像,4.4.2 巴特沃斯高通滤波器,巴特沃斯高通滤波结果,4.4.3 高斯高通滤波器,高斯高通滤波结果,4.4.4 频率域的拉普拉斯算子,频域的拉普拉斯
10、滤波,(a)月球北极图像 (b)拉普拉斯滤波后的图像 (c)标定后的图像 (d)增强图像,4.4.5 钝化模板和高频提升滤波,(a)输入图像 (b)拉普拉斯图像 (c)A=2 (d) A=2.7,高频加强滤波,(a)输入图像 (b)巴特沃思高通滤波 (c)高频加强滤波 (d) 对(c) 进行直方图均衡处理,4.5 图像的同态滤波,作用:消除图像上照明不均的问题，增加暗区的图像细节，同时又不损失亮区的图像细节，它在频域中同时将图像亮度范围进行压缩和将图像对比度进行增强,成像物理背景：因为人眼对图象亮度响应具有类似于对数运算的非线性形式。 f(x, y) = I(x, y) R(x, y) 其中：
11、 I(x, y)：照射分量（低频） R(x, y)：反射分量（高频）图象细节的不同在空间作快速变化,分析：关心反射信息，但室内外照射分量强度不同，图片明暗不均，能否消除照度不均，而增强反射部分比重。 过程：,f(x,y)=i(x,y)r(x,y) i(x,y)照射分量,低频区 r(x,y)反射分量，反映图像的细节分量，处于高频区,Step： （1）z(x,y) = ln f(x,y) = lnI(x,y) + lnR(x,y) 把频谱分开 （2）Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v) 傅立叶变换 （3）S(u,v) = H(u,v) Z(u,v) H(u,v) （同态滤波函数）处理Z(u,v) （4）s(x,y) = F-1S(u,v) = i(x,y) + r(x,y) （5）g(x,y) = exp s(x,y) = exp i(x,y) + r(x,y)= i0(x,y) r0 (x,y),如果图像照明不均，图像上各部分的亮度会有起伏，压缩照度分量的灰度范围或频域上消弱照度分量的频谱分量。因反射分量反映细节，利用对比度增强这一分量的对比度或频域上加大反射频谱成分，使暗区细节增强，并保留亮区图像细节,同态滤波处理前 同态滤波处理后 （压缩图像的动态范围，增加了图像各部分之间的对比度）,图像的同态滤波,