第三章Z变换(数字信号处理).ppt

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1、3 序列的Z变换,3.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为,(3.1),式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在之间求和， 可以称为双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式,(3.2),使(3.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。 一 般收敛域用环状域表示,这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分析和变换。 (3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即,(3.3),图 3.1 Z变换的收敛域,常用的

2、Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT之间的关系， 用下式表示：,(3.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。 例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|1，,

3、|z|1,由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不存在， 但如果引进奇异函数()， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。,3.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它,即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z变换为,设x(n)为

4、有界序列， 由于是有限项求和， 除0与两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。 如果n10， 则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：,n10时， 00时， 0z 例 3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：,这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0z。 但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可将z=ej代入X(z)得到， 其结果和例题2.2.1中的结果(2.3.5)公式是相同的。,2

5、. 右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。 ROC： 分析： 当 n1 0时,第一项为有限长序列， 设n1-1， 其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-|z|， Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收敛域为Rx- |z|。 如果x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- |z|。 推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含点，则x(n)是因果序列,例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn2， 序列值全为零的序列。

6、 左序列的Z变换表示为,当 n20 当 n20 第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=点不收敛）。 第一项根据前式的论述，当 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域,例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,X(z)存在要求|a-1 z|1， 即收敛域为|z|a|,4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+Rx-， 其收敛域为Rx- |z| Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ Rx- ， 两个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域，

7、因此X(z)不存在。 例 3.5 x(n)=a|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。 解：,第一部分收敛域为|az|a|。 如果|a|1， 两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1， 其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。 当0a1时， x(n)的波形及X(z)的收敛域如图3.2所示。,图 3.2 例3.5图,3.3 Z反变换 已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为Z反变换。 序列的Z变换及共Z反变换表示如下：,(3.5),1. 用留数定理求Z反变换 如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示， 根据留数定理,(3.6),

8、式中 表示被积函数X(Z)Zn-1在 极点Z=Zk的留数， Z反变换则是围线c内所有的极点留 数之和。 如果Zk是单阶极点， 则根据留数定理,(3.7),如果zk是N阶极点， 则根据留数定理,(3.8),例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|a， 求其Z反变换x(n)。,为了用留数定理求解， 先找出F(z)的极点， 极点有： z=a; 当n0时z=0共二个极点， 其中z=0极点和n的取值有关。 n0时， z=0不是极点。 n0时， z=0是一个n阶极点。 因此分成n0和n0两种情况求x(n)。 n0 时，,n0时， z=0的-n阶极点， 综合以上二步可得,例 3.7已知 ，

9、求其反变换x(n)。 解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一的原序列x(n)， 必须先确定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这样收敛域有三种选法， 它们是 (1) |z|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|z|z-1|， 对应的x(n)是双边序列； (3) |z|a|， 对应的x(n)是左序列。,图 3.5 例3.7 X(z)极点分布图,下面按照收敛域的不同求其x(n)。 (1) 收敛域|z|a-1|,种收敛域是因果的右序列， 无须求n0时的x(n)。 当n0时， 围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1， 因此,最

10、后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。 (2) 收敛域|z|a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n0情况， 当n0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n0时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和,最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1) (3) 收敛域|a|z|a-1| 这种情况对应的x(n)是双边序列。 根据被积函数F(z)， 按n0和n0两情况分别求x(n)。 n0时， c内极点z=a x(n)=ResF(z), a=an,n0时， c内极点有二个， 其中z=0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a

11、-1， 因此 x(n)=-ResF(z), a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n0,2. 幂级数法(长除法) 按照Z变换定义(3.1)式， 可以用长除法将X(z)写成幂级数形式， 级数的系数就是序列x(n)。 要说明的是， 如果x(n)是右序列， 级数应是负幂级数； 如x(n)是左序列， 级数则是正幂级数。 例 3.8已知 用长除法求其Z反变换x(n)。 解由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展成负幂级数,1-az-1,例 3.9 已知求 其Z反变换x(n)。 解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数,3.

12、 部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z反变换。 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表3.1)求得各部分的反变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展开为,观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。,(3.11),(3.12),(3.13),(3.14),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,例3.10已知 ，求Z反变换。,解,因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收

13、敛域应取|z|3。查表3.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 一些常见的序列的Z变换可参考表3.1。,表3.1 常见序列Z变换,3.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。 1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ 则 M(z)=ZTm(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ (3.15) Rm+=max Rx+,Ry+ Rm-=max Rx,Ry-,这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收敛域，如果没有公共收敛域，例如当 R x+R

14、 x-R y+R y-时，则M(z)不存在。 2. 序列的移位 设X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 则ZTx(n-n0)=z-n0X(z), R x-|z|R x+ (3.16),3. 乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1 z) |a|R x-|z|a|R x+ (3.17),证明,因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。,4.序列乘以n 设,则,(3.18),证明,5.复序列的共轭 设,则,证明,(3.19),6.初值定理 设 x(

15、n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(3.20),证明,因此,7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一 个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(3.21),证明,因为x(n)是因果序列，,因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1 取极限,终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为,(3.22),因此 如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。,8. 序列卷积 设,则,证明,W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。,例3.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列

16、y(n)。 解：y(n)=h(n)*x(n) 求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。,由收敛域判定y(n)=0,n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a,将y(n)表示为,9.复卷积定理 如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n) 则,W(z)的收敛域,(3.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为,(3.24),(3.25),(3.26),证明,由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到,例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n

17、|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n) 解：,因此,W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。,10.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,证明 令 w(n)=x(n)y*(n) 按照(3.24)式，得到,按照(3.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假 设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。,如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e

18、j，得到,(3.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维 尔定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式还可以表示成下式：,3.5 利用Z变换分析信号和系统 的频域特性,3.5.1 频率响应函数与系统函数 设系统初始状态为零，系统对单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),(3.5.1),一般称H(e j)为系统的频率响应函数，它表征系统的频率特性。,设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般

19、表示式,(3.5.2),如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与 H(z)之间关系如下式：,(3.5.3),3.5.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 一个稳定线性系统的充要条件是H(z)的收敛域包含单位圆。 一个线性系统是因果的充要条件是系统函数H(z)的收敛域Z= 一个稳定因果系统的系统函数H(z)的收敛域1|z| 一个稳定因果系统的系统函数H(z)的全部极点在单位圆内,例3.5.1已知 分析其

20、因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图3.5所示。 (1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题3.7)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题3.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图3.5.1(a)

21、所示。,图3.5.1,3.5.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将(3.5.2)式因式分解，得到,(3.5.4),式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr 的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量 表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量 表示，如图3.5.2所示。,和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用 极坐标表,将 和 表示式代入(3.5.7)式，得到,(3.5.8),(3.5.9),系统的

22、传输特性或者信号的频率特性由(3.5.8)式和(3.5.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图3.5.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。,图3.5.2 频响的几何表示法,3.5.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性 解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性 |H(e j)|=1,相位特性()=-，频响如图3.5.3所示。 用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。,图3.5.3 H(z)=z-1的频响,