2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.4平行关系课件理北师大版.ppt

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1、8.4 平行关系,第八章 立体几何与空间向量,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线与平面平行的判定与性质,知识梳理,a,a,a，b，ab,a,a，a，b,ab,2.面面平行的判定与性质,a，b，abP， a，b,，a， b,重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这

2、个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线. ( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) (5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.( ) (6)若，直线a，则a.( ),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二 教材改编 2.下列命题中正确的是 A.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面满足ab，a，b，

3、则b,1,2,4,5,6,解析,3,答案,解析 A中，a可以在过b的平面内； B中，a与内的直线也可能异面； C中，两平面可相交； D中，由直线与平面平行的判定定理知b，正确.,1,2,4,5,6,答案,3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.,3,平行,解析 连接BD，设BDACO，连接EO， 在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点， 所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO， 而BD1平面ACE，EO平面ACE， 所以BD1平面ACE.,解析,题组三 易错自纠 4.若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线

4、中 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析 当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.,解析 在条件或条件中，或与相交； 由，条件满足； 在中，a，abb，又b，从而，满足.,5.设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： a，b，a，b；，； ，；a，b，ab. 其中能推出的条件是_.(填上所有正确的序号),1,2,4,5,6,答案,3,解析,6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_.,解析,1,2,4,

5、5,6,3,解析 平面ABFE平面DCGH， 又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG， EFHG.同理EHFG， 四边形EFGH是平行四边形.,答案,平行四边形,题型分类 深度剖析,四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点. 又F是PC的中点，FOAP， 又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.,命题点1 直线与平面平行的判定 典例 如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF；,题型一 直线与平面平行的判定与性质,多维探究,证明,(2)求

6、证：GH平面PAD.,证明,证明 连接FH，OH， F，H分别是PC，CD的中点， FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD， FH平面PAD. 又O是BE的中点，H是CD的中点， OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD， OH平面PAD. 又FHOHH，平面OHF平面PAD. 又GH平面OHF，GH平面PAD.,命题点2 直线与平面平行的性质 典例 (2017长沙调研)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)证明：GHEF；,证明,证明 因为BC平

7、面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC. 同理可证EFBC，因此GHEF.,(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.,解答,解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC， 同理可得POBD. 又BDACO，且AC，BD底面ABCD， 所以PO底面ABCD. 又因为平面GEFH平面ABCD， 且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH. 因为平面PBD平面GEFHGK， 所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF. 所以GK是梯形GEFH的高.,由AB8，EB2得EBABKBDB14，,判断或

8、证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba). (3)利用面面平行的性质(，aa). (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa).,跟踪训练 (2016全国)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点. (1)证明：MN平面PAB；,证明,如图，取BP的中点T，连接AT，TN，,所以四边形AMNT为平行四边形， 于是MNAT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB， 所以MN平面PAB.,(2)求四面体N-BCM的体积.,解答,解 因为PA平面

9、ABCD，N为PC的中点，,取BC的中点E，连接AE.,典例 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面；,题型二 平面与平面平行的判定与性质,师生共研,证明,证明 G，H分别是A1B1，A1C1的中点， GH是A1B1C1的中位线， GHB1C1. 又B1C1BC，GHBC， B，C，H，G四点共面.,(2)平面EFA1平面BCHG.,证明,证明 E，F分别是AB，AC的中点，EFBC. EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG.,四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB. 又A1E平面

10、BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG. 又A1EEFE，A1E，EF平面EFA， 平面EFA1平面BCHG.,在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.,证明,证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M， 四边形A1ACC1是平行四边形， M是A1C的中点，连接MD， D为BC的中点，A1BDM. A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1， DM平面A1BD1. 四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1. 又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1. 又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D， 平面A1BD1平面

11、AC1D.,证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.,跟踪训练 (2018唐山质检)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE平面DMF；,证明,证明 如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O， 连接MO，则MO为ABE的中位线， 所以BEMO. 因为

12、BE平面DMF， MO平面DMF， 所以BE平面DMF.,证明 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DEGN. 因为DE平面MNG，GN平面MNG， 所以DE平面MNG. 因为M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线， 所以BDMN. 因为BD平面MNG，MN平面MNG， 所以BD平面MNG. 因为DEBDD，BD，DE平面BDE，所以平面BDE平面MNG.,(2)平面BDE平面MNG.,证明,题型三 平行关系的综合应用,师生共研,典例 如图所示，平面平面，点A，点C，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD. (1)求证：EF平面；,证明,证明

13、 当AB，CD在同一平面内时，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD知，ACBD. AEEBCFFD，EFBD. 又EF，BD，EF平面. 当AB与CD异面时，如图所示， 设平面ACD平面DH，且DHAC， 平面平面，平面平面ACDHAC， ACDH， 四边形ACDH是平行四边形，,在AH上取一点G，使AGGHCFFD， 连接EG，FG，BH. 又AEEBCFFDAGGH， GFHD，EGBH. 又EGGFG，BHHDH， 平面EFG平面. 又EF平面EFG，EF平面. 综合可知，EF平面.,(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求E

14、F的长.,解答,解 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF. E，F分别为AB，CD的中点， MEBD，MFAC，,EMF为AC与BD所成的角或其补角， EMF60或120. 在EFM中，由余弦定理得,利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.,证明 四边形EFGH为平行四边形， EFHG. HG平面ABD，EF平面ABD， EF平面ABD. 又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB， EFAB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH， AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH.,证明,跟踪训练

15、如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. (1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH；,(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围.,解 设EFx(0x4)， EFAB，FGCD，,解答,四边形EFGH为平行四边形，,又0x4，8l12， 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).,课时作业,1.若直线l不平行于平面，且l，则 A.内的所有直线与l异面 B.内不存在与l平行的直线 C.与直线l至少有两个公共点 D.内的直线与l都相交,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为l，直

16、线l不平行于平面，所以直线l只能与平面相交，于是直线l与平面只有一个公共点，所以平面内不存在与l平行的直线.,解析,答案,2.已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是 A.存在一条直线b，ab且b B.存在一条直线b，ab且b C.存在一个平面，a且 D.存在一个平面，a且,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在A，B，D中，均有可能a，错误； 在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018攀枝花质检)平面平面，

17、点A，C，点B，D，则直线AC直线BD的充要条件是 A.ABCD B.ADCB C.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面,答案,解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知ACBD.必要性显然成立.,解析,4.一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是 A.l B.l C.l与相交但不垂直 D.l或l,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当l时，直线l上任意点到的距离都相等； 当l时，直线l上所有的点到的距离都是0； 当l时，直线l上有两个点到的距离相等； 当l与斜交时，

18、也只能有两个点到的距离相等.故选D.,5.对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是 A.若m，n，则mn B.若m，n，则mn C.若m，n，则mn D.若m，n，则mn,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误； 对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误； 对C，m与n垂直而非平行，故C错误； 对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.如图，L，M，N分别为正方体对应棱的

19、中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是 A.垂直 B.相交不垂直 C.平行 D.重合,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，分别取另三条棱的中点A，B，C， 将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL， 因为PQAL，PRAM， 且PQ与PR相交，AL与AM相交， 所以平面PQR平面AMBNCL， 即平面LMN平面PQR.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018重庆模拟)在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.,答案,平面ABD与

20、平面ABC,解析 如图，取CD的中点E，连接AE，BE， 则EMMA12， ENBN12， 所以MNAB. 所以MN平面ABD， MN平面ABC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_.,解析,解析 由面面平行的性质定理可知，正确； 当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确.,答案,或,9.(2017承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

21、E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,点M在线段FH上(或点M与点H重合),解析 连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD， 平面FHN平面B1BDD1，只需MFH， 则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.,10.(2018海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可

22、换命题”.给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是_.(填序号),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”； 因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”； 由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故是“可换命题

23、”； 因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”.,11.(2017南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，AB2DC2 ，且PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心. (1)求证：GF平面PDC；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 方法一 连接AG并延长交PD于点H，连接CH.,又HC平面PCD，GF平面PCD， GF平面PDC.,1,2,3,4,5,

24、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又由所作GNAD，FMAD，得GNFM， 四边形GNMF为平行四边形. GFMN，又GF平面PCD，MN平面PCD， GF平面PDC.,方法二 过G作GNAD交PD于N，过F作FMAD交CD于M，连接MN，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法三 过G作GKPD交AD于K，连接KF，GK， 由PAD为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心，,又由梯形ABCD中ABCD，且AB2DC，,在ADC中，KFCD， 又GKKFK，PDCDD， 平面GKF平面PDC， 又GF平面GKF，GF平面P

25、DC.,(2)求三棱锥GPCD的体积.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PEAD，BEAD， 又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD， PE平面ABCD，且PE3， 由(1)知GF平面PDC，,又ABD为正三角形，得CDFABD60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为

26、AD的中点，知 PEAD，BEAD， 又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD， PE平面ABCD，且PE3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又ABD为正三角形，得EDC120，,12.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，BCPD2，E为PC的中点，CB3CG. (1)求证：PCBC；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明,证明 因为PD平面ABCD，BC平面ABCD， 所以PDBC. 因为四边形ABCD是正方形，所以BCCD. 又PDCDD，PD，CD平面PCD，

27、 所以BC平面PCD. 因为PC平面PDC，所以PCBC.,(2)AD边上是否存在一点M，使得PA平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 连接AC，BD交于点O，连接EO，GO， 延长GO交AD于点M，连接EM，则PA平面MEG. 证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点， 所以EOPA. 因为EO平面MEG，PA平面MEG， 所以PA平面MEG. 因为OCGOAM，,13.(2018南昌质检)在四面体ABC

28、D中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是 A.ACBD B.AC截面PQMN C.ACBD D.异面直线PM与BD所成的角为45,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为截面PQMN是正方形，所以MNQP， 又PQ平面ABC，MN平面ABC，则MN平面ABC， 由线面平行的性质知MNAC，又MN平面PQMN， AC平面PQMN，则AC截面PQMN，同理可得MQBD， 又MNQM，则ACBD，故A，B正确. 又因为BDMQ，所以异面直线

29、PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45，故D正确.,14.(2017山西太原五中月考)过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,6,解析 过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线， 其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG中(其中D，E，F，G分别为AC，BC，B1C1，A1C1的中点).,15.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在AD1，BC上移

30、动，始终保持MN平面DCC1D1，设BNx，MNy，则函数yf(x)的图像大致是,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 过M作MQDD1，交AD于点Q，连接QN. MN平面DCC1D1，MQ平面DCC1D1，MNMQM， 平面MNQ平面DCC1D1. 又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC， NQDC，可得QNCDAB1，AQBNx，,在RtMQN中，MN2MQ2QN2，即y24x21， y24x21(x0，y1)， 函数yf(

31、x)的图像为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C.,16.(2018哈尔滨模拟)在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 如图，取AC的中点G， 连接SG，BG. 易知SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面SGB， 故AC平面SGB，所以ACSB. 因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD， 则SBHD. 同理SBFE. 又D，E分别为AB，BC的中点， 则H，F也为AS，SC的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以四边形DEFH为平行四边形. 又ACSB，SBHD，DEAC， 所以DEHD， 所以四边形DEFH为矩形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,本课结束,