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1、数学 苏（理）,4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式,第四章 三角函数、解三角形,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系： .,sin2cos21,2.下列各角的终边与角的终边的关系,相同,关于原点对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于直线yx对称,3.六组诱导公式,sin ,sin ,sin , sin ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,sin ,sin ,tan ,tan ,tan ,tan ,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)sin()si
2、n 成立的条件是为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角可以是任意角.( ) (3)若cos(n) (nZ)，则cos .( ),1,解析,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,又x(，2)，,解析,答案,思维升华,又x(，2)，,解析,答案,思维升华,(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用 tan 可以实现角的弦切互化.,解析,答案,思维升华,(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ， sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.,解析,答案,思维升华,(3)注意公式逆用及变形应用：
3、1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.,解析,答案,思维升华,例1 已知 5，则sin2sin cos 的值是 .,解析,答案,思维升华,例1 已知 5，则sin2sin cos 的值是 .,即tan 2，,sin2sin cos ,解析,答案,思维升华,例1 已知 5，则sin2sin cos 的值是 .,即tan 2，,sin2sin cos ,解析,答案,思维升华,例1 已知 5，则sin2sin cos 的值是 .,(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用 tan 可以实现角的弦切互化.,解析,答案,思维升华,例1 已知 5，则sin2sin
4、 cos 的值是 .,(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ， sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.,解析,答案,思维升华,例1 已知 5，则sin2sin cos 的值是 .,(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.,(2)已知tan 2，则sin cos .,思维点拨,解析,思维升华,题型二 诱导公式的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 诱导公式的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 诱导公式的应用,熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定
5、相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.,思维点拨,解析,思维升华,题型二 诱导公式的应用,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,先化简已知，求出 cos 的值，然后化简结论并代入求值.,思维点拨,解析,思维升华,解 cos(7)cos(7),思维点拨,解析,思维升华,熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.,思维点拨,解析,思维升华,(2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角， 则 tan2() .,题型三 三角函数式的求值与化简,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升
6、华,题型三 三角函数式的求值与化简,2tan()3cos( )50化简为,2tan 3sin 50， tan()6sin()10化简为 tan 6sin 10. 由消去sin ，,解得tan 3. 又为锐角，根据sin2cos21，,解析,答案,思维升华,题型三 三角函数式的求值与化简,解析,答案,思维升华,题型三 三角函数式的求值与化简,解得tan 3. 又为锐角，根据sin2cos21，,在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简.,解析,答案,思维升华,题型三 三角函数式的求值与化简,解析,答案,思维升华,
7、例3 (2)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan .,解析,答案,思维升华,例3 (2)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan .,解析,答案,思维升华,所以(sin cos )21 2sin cos 1 ，,所以sin 0，cos 0，,例3 (2)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan .,解析,答案,思维升华,例3 (2)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan .,解析,答案,思维升华,例3 (2)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan .,在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，
8、减少函数种类，对式子进行化简.,解析,答案,思维升华,例3 (2)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan .,跟踪训练3 (1)若为三角形的一个内角，且sin cos ，则这个三角形是 三角形(填“锐角”“直角”“钝角”).,此三角形为钝角三角形.,钝角,tan 20，为第一象限角或第三象限角. 又sin cos 0，为第三象限角，,思想与方法系列5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,典例：(1)已知A (kZ)，则A的值构成的集合是 .,角中含有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；,思想与方法系列5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的
9、应用,典例：(1)已知A (kZ)，则A的值构成的集合是 .,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,思想与方法系列5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用,典例：(1)已知A (kZ)，则A的值构成的集合是 .,A的值构成的集合是2，2.,2，2,(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤； (2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,思想与方法系列5 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用,典例：(1)已知A (
10、kZ)，则A的值构成的集合是 .,2，2,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,(2)在ABC中，若sin(2A) sin(B)， cos A cos(B)，则C .,.,利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,(2)在ABC中，若sin(2A) sin(B)， cos A cos(B)，则C .,.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,(2)在ABC中，若sin(2A) sin(B)， cos A cos(B)，则C .,.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,(2)在ABC中，若sin(2A) sin(B)， co
11、s A cos(B)，则C .,又A、B是三角形的内角，,.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,(2)在ABC中，若sin(2A) sin(B)， cos A cos(B)，则C .,又A、B是三角形的内角，,.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,(2)在ABC中，若sin(2A) sin(B)， cos A cos(B)，则C .,.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,(2)在ABC中，若sin(2A) sin(B)， cos A cos(B)，则C .,(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤； (2)三角
12、形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用.,.,方 法 与 技 巧,同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.,方 法 与 技 巧,失 误 与 防 范,1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.,2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.,3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.,2,
13、3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,又sin2cos21，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,所以tan 2，,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,5.函数y3cos(x)2的图象关于直线x 对称，则的取值是 .,解析 ycos x2的对称轴为xk(kZ)，,xk(kZ)，即xk(kZ)，,6.如果sin ，且为第二象限角，则sin .,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,2,3,4,5,6,8,9,10,
14、1,7,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,10.已知sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根，求cos3( )sin3( )的值.(已知：a3b3(ab)(a2abb2),2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,解 由已知原方程的判别式0，即(a)24a0， a4或a0.,(sin cos )212sin cos ，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(sin cos )(sin2sin cos cos2),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,即2cos23cos 20，,1,2,3,4,5,6,2,1,2,3,4,5,6,0,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 当n为偶数，即n2k(kZ)时，,1,2,3,4,5,6,当n为奇数，即n2k1(kZ)时，,1,2,3,4,5,6,综上得f(x)sin2x.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,