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1、专题六 新定义题,题型概述,方法指导,新定义问题是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给出一种解法等,在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而加以运用,解决问题.其目的在于考查同学们的阅读理解能力、收集处理信息的能力和运用知识解决实际问题的能力.题目结构大致分两部分:一部分是材料,另一部分是问题.新定义问题近5年来在安徽中考中出现两次,分值510分,题型有填空题、解答题.安徽中考已有三年没出现了,预计2019年出现可能性较大.,题型概述,方法指导,解决此类题的步骤: (1)理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和
2、正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题.,类型一,类型二,类型三,类型一,类型二,类型三,类型一 基本运算新定义题 例1(2011安徽)定义运算ab=a(1-b),下面给出这种运算的几个结论: 2(-2)=6 ab=ba 若a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab 若ab=0,则a=0 其中正确结论的序号是 .(在横线上填上你认为正确结论的序号),类型一,类型二,类型三,解析:2(-2)=21-(-2)=6, 正确; ab=a(1-b)=a-ab;ba=b(1-a)=b-ab, 不正确; a+b
3、=0,a2+b2=-2ab, (aa)+(bb)=a(1-a)+b(1-b)=a+b-a2-b2=2ab,正确; ab=0, ab=a(1-b)=0,则a=0或者b=1. 不正确. 答案:,类型一,类型二,类型三,类型二 几何图形新定义题 例2(2013安徽)我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”,其中B=C. (1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);,类型一,类型二,类型三,(2)如图
4、2,在“准等腰梯形”ABCD中B=C.E为边BC上一点,若ABDE,AEDC,求证: ; (3)在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中,BAD与ADC的平分线交于点E.若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”?为什么?若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由),类型一,类型二,类型三,解:(1)如图,过点D作DEBC交PB于点E,则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE. (2)证明:ABDE, B=DEC, AEDC, AEB=C, B=C, B=AEB, AB
5、=AE.,类型一,类型二,类型三,(3)如图4,作EFAB于F,EGAD于G,EHCD于H, BFE=CHE=90. AE平分BAD,DE平分ADC, EF=EG=EH,RtEFBRtEHC, 3=4. BE=CE,1=2. 1+3=2+4,即ABC=DCB, 四边形ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行BC, 四边形ABCD是“准等腰梯形”. 当点E不在四边形ABCD的内部时,有两种情况: 当点E在BC边上时,同理可以证明EFBEHC,类型一,类型二,类型三,B=C, 四边形ABCD是“准等腰梯形”. 如图2,当点E在四边形ABCD的外部时,同理可以证明EFBEHC, EBF=ECH.
6、BE=CE, 3=4, EBF-3=ECH-4,即1=2, 四边形ABCD是“准等腰梯形”.,类型一,类型二,类型三,类型三 函数新定义题 例3(2014安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”. (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数; (2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0x3时,y2的最大值. 分析:(1)只需任选一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表
7、达式即可. (2)由y1的图象经过点A(1,1)可以求出m的值,根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式,将函数y2的表达式转化为顶点式,利用二次函数的性质就可以解决问题.,类型一,类型二,类型三,解:(1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k, 当a=2,h=3,k=4时, 二次函数的关系式为y=2(x-3)2+4. 20, 该二次函数图象的开口向上. 当a=3,h=3,k=4时, 二次函数的关系式为y=3(x-3)2+4. 30,该二次函数图象的开口向上. 两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4的图象顶点相同,开口都向上, 两
8、个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4是“同簇二次函数”. 符合要求的两个“同簇二次函数”可以为y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4.,类型一,类型二,类型三,(2)y1的图象经过点A(1,1), 212-4m1+2m2+1=1. 整理得m2-2m+1=0.解得m1=m2=1. y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1. y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5 =(a+2)x2+(b-4)x+8. y1+y2与y1为“同簇二次函数”, y1+y2=(a+2)(x-1)2+1 =(a+2)x2-2(a+2)x+(a+2)+1. 其中a+20,即a-2.,函数y2
9、的表达式为y2=5x2-10x+5. y2=5x2-10x+5=5(x-1)2.,类型一,类型二,类型三,函数y2的图象的对称轴为x=1. 50,函数y2的图象开口向上. 当0x1时, 函数y2的图象开口向上, y2随x的增大而减小. 当x=0时,y2取最大值, 最大值为5(0-1)2=5. 当1x3时, 函数y2的图象开口向上, y2随x的增大而增大. 当x=3时,y2取最大值, 最大值为5(3-1)2=20. 综上所述,当0x3时,y2的最大值为20.,1,2,3,4,5,6,1.(2018湖南娄底)已知:x表示不超过x的最大整数,例:3.9=3,-,A.f(1)=0 B.f(k+4)=f
10、(k) C.f(k+1)f(k) D.f(k)=0或1,1,2,3,4,5,6,2.(2018浙江衢州)定义:在平面直角坐标系中,一个图形先向右平移a个单位,再绕原点按顺时针方向旋转角度,这样的图形运动叫做图形的(a,)变换.如图,等边ABC的边长为1,点A在第一象限,点B与原点O重合,点C在x轴的正半轴上.A1B1C1就是ABC经(1,180)变换后所得的图形. 若ABC经(1,180)变换后得A1B1C1,A1B1C1经(2,180)变换后得A2B2C2,A2B2C2经(3,180)变换后得A3B3C3,依此类推An-1Bn-1Cn-1经(n,180)变换后得AnBnC,则点A1的坐标,1
11、,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,3.(2018上海,15,4分)如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,1,2,3,4,5,6,4.(2018湖南怀化,16,4分)根据下列材料,解答问题. 等比数列求和: 概念:对于一列数a1,a2,a3,an,(n为正整数),若从第二个数开始,a1,a2,a3,an,这一列数成等比数列,这一常数q叫做该数列的公比. 例:求等比数列1,3,32,33,3100的和. 解:令S=1+3+32+33+3100, 则3S=3+32+33+34+3101,1,2,3,4,5,6,思路分析: 仿造例题令S=1+5+52+53+52 018,找出5S
12、=5+52+53+54+52 019,二者做差即可得出S的值. 解析:令S=1+5+52+53+52 018,则 5S=5+52+53+54+52 019,1,2,3,4,5,6,5.(2017湖南益阳,21)在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”. (1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上?为什么? (2)M,N是一对“互换点”,若点M的坐标为(m,n),求直线MN的表达式(用含m,n的代数式表示); (3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A,B,其中点
13、A在,1,2,3,4,5,6,解:(1)不一定. 设这一对“互换点”的坐标为(a,b)和(b,a).当ab=0时,它们不可能,(2)由M(m,n)得N(n,m),设直线MN的表达式为y=cx+d(c0).,1,2,3,4,5,6,q=-1或q=2. 这一对“互换点”是(2,-1)和(-1,2). 将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得,y=x2-2x-1.,1,2,3,4,5,6,6.(2018湖北咸宁)定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.,理解: (1)如图1,已知RtABC在正
14、方形网格中,请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D,使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹,找出3个即可);,1,2,3,4,5,6,解:D1,D2,D3,D4即为所求. 理由如下:,四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形,当ACD=90时,ACDABC或ACDCBA,CD=10或CD=2.5. 同理:当CAD=90时,AD=2.5或AD=10.,1,2,3,4,5,6,(2)如图2,在四边形ABCD中,ABC=80,ADC=140,对角线BD平分ABC. 求证:BD是四边形ABCD的“相似对角线”; 证明:ABC=80,BD平分ABC, ABD=DBC=40, A+ADB=140 ADC=140,BDC+ADB=140. A=BDC,ABDDBC, BD是四边形ABCD的“相似对角线”.,1,2,3,4,5,6,运用: (3)如图3,已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”,EFH=HFG=30.连接EG,若EFG的面积为2 ,求FH的长. 证明:如图3, FH是四边形EFGH的“相似对角线”,EFH与HFG相似. EFH=HFG,