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1、专题二 分类讨论题,题型概述,方法指导,因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部问题来解决.2017年安徽中考中,将近10年的结论判断正误题被分类讨论题所代替,这给我们传递了一个信号,安徽中考压轴填空题将改变题型.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2018年中考压轴填空题设置为分类讨论题可能性非常大.,题型概述,方法指导,1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做到不重不漏.解题中,分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及讨论对
2、象的取值范围;第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并做出结论. 2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化. (1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论. (2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论.,题型概述,方法指导,(3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算
3、时会得到不同的结果,就需要分类讨论. (4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解. (5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论. (6)字母系数参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同的情况,从而影响问题结果,因此引起分类讨论. (7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论
4、.,类型一,类型二,类型三,类型一,类型二,类型三,类型一 图形形状不同引起的分类讨论 例1(2017安徽,14)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为 cm.,类型一,类型二,类型三,解析:A=90,C=30,AC=30 cm, AB=10 cm,ABC=60, ADBEDB,如图2,平行四边形的边是DE,EG,且DE=AG=10 cm, 平
5、行四边形的周长=40 cm,综上所述:,类型一,类型二,类型三,类型二 图形不确定引起的分类讨论 例2(2018安徽)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为 . 解析:由题意知,点P在线段BD上, (1)如图1所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,则点P为BD中点,故PE= DC=3; (2)如图2所示,若DA=DP,则DP=8,类型一,类型二,类型三,例3(2012安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形
6、,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的边长是 ( ) A.10,类型一,类型二,类型三,答案:C,类型一,类型二,类型三,类型三 运算引起的分类讨论 例4(2015安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:,若a=3,则b+c=9; 若a-b=c,则abc=0; 若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8. 其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上),类型一,类型二,类型三,求得a=c且b=0,所以abc=0,正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情况:(1)a=bc,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a
7、=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=cb,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=ca,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.正确. 答案:,1,2,3,4,5,6,7,1.(2017青海西宁)若点A(m,n)在直线y=kx(k0)上,当-1m1时,-1n1,则这条直线的函数解析式为y=x或y=-x .,解析:分类讨论单调性,可知图形过点(-1,-1)和(1,1)或者图象过点(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x.,1,2,3,4,5,6,7,2.(2018山东枣庄)如图
8、1,点P从ABC的顶点B出发,沿BCA匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则ABC的面积是12 .,解析:动点P的运动过程:当动点P在BC上时,BP由0到5逐渐增加,所以可得BC=5;当动点P在AC上时,BP先变小后变大且当BPAC时,BP最小为4;当动点P在AB上时,BP由5到0逐渐减小,所以可得AC=5,由题意可得ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底边上高为4,BPAC时,勾股定理可得AP=CP=3,所以ABC,1,2,3,4,5,6,7,3.(2018浙江绍兴)过双曲线y= (k0)的动点A作ABx轴于点B,P是直线AB上
9、的点,且满足AP=2AB,过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C.如果APC的面积为8,则k的值是12或4 .,APC=8,可求SABO=2,即k=4.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,4.(2018山东德州)如图,反比例函数y= 与一次函数y=x-2在第三象限交于点A,点B的坐标为(-3,0),点P是y轴左侧的一点,若以A、O、B、P为顶点的四边形为平行四边形.则点P的坐标为(-4,-3),(-2,3) .,1,2,3,4,5,6,7,构成平行四边形ABOP时,如图1,点P在y轴右侧,舍去; 构成平行四边形OAPB时,如图2,APBO,AP=BO=3, 因为A(-1,-
10、3),所以P(-4,-3); 构成平行四边形OABP时,如图3,BPAO,BP=AO,所以P(-2,3),综上所述点P的坐标为(-4,-3),(-2,3).,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,5.(2018山东淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧).若B、C是线段AD的三等分点,则m的值为2或8 .,解析:易求点A(-3,0),B(1,0),若平移中C在AB之间且B、C是线段AD的三等分点,则AC=CB,此时C(-1,0),m=2;若平移中C在
11、B点右侧且B、C是线段AD的三等分点,则AB=BC,此时C(5,0),m=8.,1,2,3,4,5,6,7,6.(2018合肥、安庆名校联考)如图1,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动,以点M为圆心,MA长为半径画圆,如图2,过点M作NMAB,交M于点N,设运动时间为t秒. (1)填空:BD= , BM= ;(请用准确数值或含t的代数式表示) (2)当M与BD相切时, 求t的值; 求CDN的面积. (3)当CND为直角三角形时,求出t的值.,1,2,3,4,5,6,7,解:(1)四边形ABCD是矩形, AD=BC=12,BAD
12、=90, 在RtABD中,AB=9,BC=12,根据勾股定理得,由运动知,AM=2t.BM=AB-AM=9-2t,故答案为:15,9-2t. (2)如图1,M切BD于E,MEBD, BEM=BAD=90, EBM=ABD,BMEBDA.,MN=AM=2t=4, CD边上的高为AD-MN=12-4=8, SCDN= 98=36.,1,2,3,4,5,6,7,(3)如图2,过点N作直线FGMN,分别交AD,BC于点F,G, FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2t, DN2=DF2+FN2=(12-2t)2+(2t)2, CN2=CG2+GN2=(12-2t)2+(9-2t)2, 当DN
13、C=90时,DN2+CN2=CD2, (12-2t)2+(2t)2+(12-2t)2+(9-2t)2=81,化简,得4t2-33t+72=0,=(-33)2-44720,此方程无实数根. 当DCN=90时,点N在BC上,BN=BA=2t=9,t=4.5, 综上所述,t=4.5秒.,1,2,3,4,5,6,7,7.(2018湖南娄底)如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点. (1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标; (2)F(x,y)是抛物线上的动点; 当x1,y0时,求BDF的面积的最大值; 当AEF
14、=DBE时,求点F的坐标.,1,2,3,4,5,6,7,解:(1)与x轴交点为A(-1,0),B(3,0), 设表达式为y=a(x+1)(x-3)(a0). 与y轴交于C(0,3), 3=-3a,解得a=-1. y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,D(1,4). (2)过F作FHx轴,交BD于H,由题意,F是线段BD上方抛物线上的动点,FH把BDF分成两个都以FH为底的三角形,它们高的和为2,1,2,3,4,5,6,7,设直线BD的表达式为y=mx+n(m0), 经过B(3,0),D(1,4),y=-2x+6. SBDF=yF-yH =(-x2+2x+3)-(-2x+6) =-x2+4x-3. a=-10,开口向下,有最大值, 当x=2时,SBDF最大为1.,1,2,3,4,5,6,7,分类讨论: .过点E作lBD,与抛物线交点为所求. lBD,AEF=DBE. 设l的表达式为y=-2x+t, 过E(1,0),t=2,y=-2x+2, 联立直线和抛物线表达式,.作直线l关于x轴对称的直线l,l与抛物线的交点之一为所求, l和l关于x轴对称, l的表达式为y=2x-2. 联立直线和抛物线表达式,1,2,3,4,5,6,7,