《2020年高考数学（理科）一轮复习课件：第九章 第7讲 离散型随机变量的均值与方差 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学（理科）一轮复习课件：第九章 第7讲 离散型随机变量的均值与方差 .ppt（50页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第7讲 离散型随机变量的均值与方差,理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，,能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单 问题.,1.离散型随机变量的均值和方差,一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：,则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.均值和方差的性质,aE(X)b,p,np,设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb， 则 E(Y)E(aXb)_， D(Y)D(aXb)a2D(X). 3.两点分布及二项分布的均值和方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p
2、(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).,1.已知的分布列为,D,则 E()(,),A.0,B.0.2,C.1,D.0.3,2.已知随机变量的分布列是：,B,则 D()(,),A.0.6,B.0.8,C.1,D.1.2,解析：E()10.4 20.230.4 2 ，则 D()(1 2)20.4(22)20.2(32)20.40.8.,4.(2017 年新课标)一批产品的二等品率为 0.02，从这批 产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的,二等品件数，则 D(X)_.,1.96,解析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 XB(
3、100,0.02)， 由二项分布的期望方差公式，可得D(X)np(1p) 1000.020.981.96.,考点 1,离散型随机变量的期望与方差,例 1：2018 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表 现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国 男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 500 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每 滑行一圈都要经过 4 个直道与弯道的交接口 Ak(k1,2,3,4).已知,在用 X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通 过的交接口数.
4、(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率；,(2)求 X 的分布列及数学期望 E(X).,图 9-7-1,【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：,则称E(X)x1 p1x2 p2xi pixn pn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列，可直接套用公式E(X)x1 p1x2 p2xi pixn pn 求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽 取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.,【互动探究】,1.中国好声音(The Voice of
5、China)是由浙江卫视联合星 空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目. 每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱 完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导 师的团队中接受指导训练.已知某期中国好声音中，6 位选 手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：,现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的,转身情况.,(1)求选出的两人导师为其转身的人数和为 4 的概率； (2)记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 X，求 X 的分,布列及数学期望 E(X).,解：(1)设 6 位选手中，A 有 4 位导师为其转身，B，C 有 3 位导
6、师为其转身，D，E 有 2 位导师为其转身，F 只有 1 位导师 为其转身.,考点 2,超几何分布的期望和方差,例 2：(2018 年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员 工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从 这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变 量 X 的分布列与数学期望； 设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也 有睡眠不足的员工
7、”，求事件 A 发生的概率.,解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 22，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、 乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.,所以随机变量 X 的分布列为：,【互动探究】,2.某高校在自主招生期间，把高三学生的平时成绩按“百 分制”进行折算，选出前 n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分 组，第一组75,80) ，第二组80,85) ，第三组85,90) ，第四组 90,95)，第五组95,100，图 9-7-2 为频率分布直方图的一部分， 其中第五组、第一组
8、、第四组、第二组、第三组的人数依次成 等差数列，且第四组的学生人数为 60，第五组对应的小长方形 的高为 0.02.,图 9-7-2,(1)请在图中补全频率分布直方图；,(2)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分 层抽样的方法抽取 6 名学生进行面试，并且在这 6 名学生中随 机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试，设第三组有名学生被考官 B 面试，求的分布列和数学期望.,解：(1)因为第四组的学生人数为 60，且第五组、第一组、 第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，所以总 人数为 n560300. 由频率分布直方图可知，第五组的学生人数为 0.025,30030，又公
9、差为,6030 2,15，,所以第一组的学生人数为 45，第二组的学生人数为 75，第 三组的学生人数为 90.,补全频率分布直方图如图 D99：,图 D99,因此的分布列为：,考点 3,二项分布的期望和方差,例 3：生蚝即牡蛎(oyster)是所有食物中含锌最丰富的，在 亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭 绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，依附 寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年 四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生 蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如下表所示：,(1)若购进这批生蚝 500 kg，且同一组
10、数据用该组区间的中 点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)； (2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个， 记质量在5,25)间的生蚝的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望.,解：(1)由表中的数据可以估算每只生蚝的质量为：,所以 X 的分布列为：,【规律方法】(1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析 是否服从二项分布，如果B(n，p)，那么用公式 E()np， D()np(1p)求解，可大大减少计算量.,(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系 的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab) aE()b 以及 E()np 求出 E(a
11、b)，同样还可求出D(a,b).,【互动探究】,3.某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制,了该厂日销售量的频率分布直方图，如图 9-7-3：,图 9-7-3,将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售,量相互独立.,(1)求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天,日销售量低于 8 吨的概率；,(2)用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随,机变量 X 的分布列及数学期望.,解：(1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于 8 吨的频,率为：,2(0.1250.075)0.4，,记未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 8 吨为事件 A
12、i(i,1,2,3)，则 P(Ai)0.4.,未来 3 天内，连续 2 天日销售不低于 8 吨，另一天日销量,(2)由(1)知，第i天日销售量不低于8吨的概率P(Ai)0.4，,X 的可能取值为 0,1,2,3，且 XB(3,0.4)，,P(X0)(10.4)30.216；,P(X3)0.430.064. 所以 X 的分布列为：,E(X)30.41.2.,思想与方法,利用分类讨论思想求数学期望,例题：(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发 电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年 入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米) 都在 40 以上
13、，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量 在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量 相互独立.,(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的,概率；,(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最,多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：,若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发 电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的 均值达到最大，应安装发电机多少台？,(2)记水电站年总利润为 Y 万元. 安装 1 台发电
14、机的情形.,由于水库年入流量总大于 40，故 1 台发电机运行的概率为,1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000；,安装 2 台发电机的情形.,依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y5000 800 4200 ，因此 P(Y 4200) P(40X80) p10.2 ；当 X80 时，2 台发电机运行，此时 Y5000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)42000.210 0000.88840； 安装 3 台发电机的情形.,依题意，当40120时，3台发电机运行，此时Y5000315
15、000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装,发电机 2 台.,【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力， 关键在于如何迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型， 化归为数学期望问题.,【互动探究】,4.某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险 产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获 得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 A，B，C 三 类工种，从事这三类工种的人数分别为 12
16、000,6000,2000，由历 史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概 率)：,已知 A，B，C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、 25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、 50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元.,(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值； (2)现有如下两个方案供企业选择：,方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外 企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职 工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；,方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70
17、%， 职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企 业无额外专项开支.,请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.,解：(1)设工种 A，B，C 职工的每份保单保险公司的收益为,随机变量 X，Y，Z，则 X，Y，Z 的分布列为：,保险公司的期望收益为：,则保险公司的利润的期望值为 12 000E(X)6000E(Y) 2000E(Z)100 00090 000， 故保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元.,(2)方案 1，企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出 与固定开支共为：,方案 2，企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为： (12 00025600025200040)0.737.1104， 4610437.1104，故建议企业选择方案2.,