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1、第1课时 集合的含义,一,二,三,四,一、元素与集合的相关概念 1.你所在学校高一新生全体同学构成2019级部.请阅读下列语句,并思考提出的问题: 2019级部的所有同学; 2019级部的所有男生; 2019级部的所有女生; 2019级部比较帅的同学. (1)以上各语句要研究的对象分别是什么? 提示:以上各语句要研究的对象分别为2019级部的所有同学、2019级部的所有男生、2019级部的所有女生、2019级部比较帅的同学. (2)哪个语句中的对象不确定?为什么? 提示:中的对象不确定,因为“比较帅”没有明确的划分标准.,一,二,三,四,2.填空: 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写
2、拉丁字母a,b,c,表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合. 3.判断正误: 如果小明的身高是180厘米,那么他应该是由高个子学生组成的集合中的一个元素. ( ) 答案:,一,二,三,四,二、集合中元素的特征 1.构成英文单词success的所有字母能否组成一个集合,如果能组成一个集合,该集合中有几个元素?为什么? 提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性);有5个元素.因为集合中的元素必须是不同的(互异性). 2.分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系?集合中的元素有没有先后顺序? 提示:相等.只要构成两个集合的元素是一样的,
3、我们就称这两个集合是相等的.也就是说集合中的元素是没有先后顺序的. 3.填空: 集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性. 4.判断正误: 方程x2-2x+1=0的解集中含有2个元素. ( ) 答案:,一,二,三,四,三、元素与集合的关系 问题思考 1.由大于1的数构成的集合记作集合A.1和2与集合A是怎样的关系? 提示:因为21成立,所以2是集合A中的元素,即2属于集合A; 因为11不成立,所以1不是集合A中的元素,即1不属于集合A. 2.填空:,一,二,三,四,3.做一做: 用符号和填空: (1)若所有正奇数构成的集合为M,则4 M,-1 M,7 M; 解析:(1)4和-1都不是正奇数
4、,7是正奇数,因此4M,-1M,7M. 答案:(1) (2) ,一,二,三,四,四、常用数集的字母表示 问题思考 1.非负整数集与正整数集有何区别? 提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0. 2.填写下表:,3.若aQ,则一定有aR吗?反过来呢? 提示:若aQ,则一定有aR;反过来,若aR,但不一定有aQ.,一,二,三,四,4.做一做: 用符号“”或“”填空. (1)1 N*;(2)-3 N;,答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一集合的概念 例1 2018年9月,我们踏入了心仪的高中校园,找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些?
5、并说明你的理由. (1)你所在班级中全体同学; (2)班级中比较高的同学; (3)班级中身高超过178 cm的同学; (4)班级中比较胖的同学; (5)班级中体重超过75 kg的同学; (6)学习成绩比较好的同学; (7)总分前五名的同学.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析:根据研究对象的特征是否具有可以衡量、可以判断的标准,即是否具有确定性进行逐个判断. 解:(1)班级中全体同学是确定的,所以可以构成一个集合. (2)因为“比较高”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合; (3)因为“身高超过178 cm”是确定的,所以可以构成一个集合. (4)“比较胖”无法衡量,所
6、以对象不确定,所以不能构成一个集合; (5)“体重超过75 kg”是确定的,可以构成一个集合; (6)“学习成绩比较好”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合; (7)“总分前五名”是确定的,可以构成一个集合.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟一般地,确认一组对象a1,a2,a3,an(a1,a2,an均不相同)能否构成集合的过程为:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association),简称中职篮(CBA),是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛,中国最高等级的篮球联赛. 下
7、列对象能构成一个集合的是哪些?并说明你的理由. (1)20172018赛季,CBA的所有队伍; (2)CBA中比较著名的队员; (3)CBA中得分前五位的球员; (4)CBA中比较高的球员.,当堂检测,解:(1)CBA的所有队伍是确定的,所以可以构成一个集合; (2)“比较著名”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合; (3)“得分前五位”是确定的,可以构成一个集合. (4)“比较高”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究二元素与集合的关系 例2 (1)下列所给关系正确的个数是( ) R; Q;0Z;|-1|N*. A.1 B.2
8、C.3 D.4 (2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合. 0是否是集合A中的元素? 若-5A,求实数a的值; 若1A,求实数a的取值范围. (3)若集合A是由所有形如3a+ b(aZ,bZ)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素?,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析:(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系. (2)将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;1不是集合A中的元素,则
9、代入后方程不成立,得到关于a的不等式,解之即可. (3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1)解析:根据各个数集的含义可知,正确,不正确.故选C. 答案:C (2)解:将x=0代入方程,02-a0-5=-50,所以0不是集合A中的元素; 若-5A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4. 若1A,则12-a1-50,解得a-4.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知
10、集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的. (2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征. (3)若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练 2用符号“”或“”填空: -1 N, N*,3.7 Z,3.14 Q, R. 解析:因为-1是负整数,所以-1N;因为 =2,所以 N*;因为3.7不是整数,所以3.7Z;因为3.14是有理数,所以3.14Q;因为是实数,所以R. 答案:
11、 ,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究三集合中元素的特性及其应用 例3 已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3A,求a的值. 分析:由-3A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.,反思感悟集合中元素当含有字母时的处理方法 先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验. 注意:在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,延伸探究(1)本例中集合A中能否只有一个元素呢? (2)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制? 解:(1)若该集合中只
12、有一个元素, 则有a-2=2a2+5a=12. 由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2142+514=46212. 所以该集合中不可能只含有一个元素. 解a-212,得a14; 解2a2+5a12, 即(2a-3)(a+4)0,得a 且a-4; 解2a2+5aa-2,即a2+2a+10,得a-1. 所以实数a不能取四个值:14, ,-4,-1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视集合中元素的互异性而致错 典例 已知集合A中含有两个元素a和a2,若1A,则实数a的值为 . 错解因为1A,所以a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.故填1或-1. 以上解题过程中都有哪些错误?出错
13、的原因是什么?你如何改正?如何防范? 提示:以上错解中没有注意到元素a与a2不相等,得到了错误答案1或-1.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性. 正解:因为1A,所以a=1或a2=1.当a=1时,a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去.当a2=1,即a=1时,a=1舍去.若a=-1,集合A含有两个元素1和-1,符合集合中元素的互异性.综上,a=-1. 答案:-1,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,防范措施 1.分类讨论思想的运用 解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中由1A,可知a=1或a2=1. 2.集合中元素的互异性的作用 求解与
14、集合有关的字母参数时,需要利用集合中元素的互异性来检验所求字母参数的值是否符合要求.如本例中需对所求出的1与-1分别进行检验.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练 方程x2-(a+1)x+a=0的解集有几个元素? 解:x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为1,a. 若a=1,则方程的解集只有一个元素1; 若a1,则方程的解集有两个元素1,a.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.下列各选项中可以构成集合的是( ) A.相当大的数 B.本班长得特别漂亮的学生 C.光明中学2019级学生 D.著名的数学家 解析:“相当大”这个词界限
15、不确定,不明确哪些元素在该集合中,故A不构成集合;同样B,D也不构成集合.故选C. 答案:C 2.设集合A只含有一个元素a,则有( ) A.0A B.aA C.aA D.a=A 解析:集合A中只含有一个元素a,故a属于集合A,aA. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.用符号或填空: (1)若A表示由所有质数组成的集合,则1 A,2 A, 3 A; 解析:(1)由2,3为质数,1不是质数,得1A,2A,3A. 答案:(1) (2) 4.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有 个元素. 解析:方程x2-5x+6=0的解是2,3;方程x2-x-2=0的解是-1,2.由集合元素的互异性知,以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素. 答案:3,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.,故实数x满足的条件为x0,且x-1.,