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1、,专题四 数列、推理与证明,第 1讲 等差数列和等比数列,主 干 知 识 梳 理,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,主干知识梳理,1an与Sn的关系Sna1a2an， an,2.等差数列和等比数列,热点一 等差数列,热点二 等比数列,热点三 等差数列、等比数列的综合应用,热点 分类突破,例1 (1)等差数列an的前n项和为Sn，若a2a4a612，则S7的值是( ) A.21 B.24 C.28 D.7,热点一 等差数列,思维启迪 利用a1a72a4建立S7和已知条件的联系；,解析 由题意可知，a2a62a4， 则3a412，a44，,C,(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若1a
2、31,0a63，则S9的取值范围是_,思维启迪 将a3，a6的范围整体代入,解析 S99a136d3(a12d)6(a15d) 又1a31,0a63， 33(a12d)3,06(a15d)18， 故3S921.,(3,21),变式训练1,(1)已知等差数列an中，a7a916，S11 ，则a12的值是( ) A15 B30 C31 D64,解析 因为a8是a7，a9的等差中项， 所以2a8a7a916a88，,再由等差数列前n项和的计算公式可得,所以a12a84d15，故选A. 答案 A,(2)在等差数列an中，a50且a6|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列说法正确的是( ) AS1，S
3、2，S3均小于0，S4，S5，S6均大于0 BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0 CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0 DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0,解析 由题意可知a6a50，,答案 C,例2 (1)(2014安徽)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.,热点二 等比数列,思维启迪 列方程求出d，代入q即可；,解析 设等差数列的公差为d, 则a3a12d,a5a14d,(a12d3)2(a11)(a14d5), 解得d1，,1,思维启迪 求出a1，q，代入化简,答案 D,变式训练2,(1)已知各项不为0的
4、等差数列an满足a42a 3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11等于( ) A1 B2 C4 D8,D,(2)在等比数列an中，a1an34，a2an164，且前n项和Sn62，则项数n等于( ) A4 B5 C6 D7,解析 设等比数列an的公比为q， 由a2an1a1an64， 又a1an34，解得a12，an32或a132，an2.,又ana1qn1，所以22n12n32，解得n5.,综上，项数n等于5，故选B. 答案 B,例3 已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126. (1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；,热点三 等差数列、等比数列的综合应用,思维
5、启迪 利用方程思想求出a1，代入公式求出an和Sn；,解 由a2a7a126得a72，a14，,(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围,思维启迪 将恒成立问题通过分离法转化为最值,解 由题意知b14，b22，b31， 设等比数列bn的公比为q，,Tm为递增数列，得4Tm8.,故(Sn)maxS4S510， 若存在mN*，使对任意nN*总有Sn6.即实数的取值范围为(6，),变式训练3,已知数列an前n项和为Sn，首项为a1，且 ，an，Sn成等差数列 (1)求
6、数列an的通项公式；,证明 bn(log2a2n1)(log2a2n3) log222n12log222n32(2n1)(2n1)，,1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形,本讲规律总结,3等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d0an为递增数列，Sn有最小值 d0an为递减数列，S
7、n有最大值 d0an为常数列 (2)等比数列的单调性,4.常用结论 (1)若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn， 仍为等差数列，其中m，k为常数 (2)若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数)，a ， 仍为等比数列,(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，且公比为 q. (4)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公差为qk. 等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成
8、等差数列，公差为k2d.,5易错提醒 (1)应用关系式an 时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起 (2)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b ，但三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.,真题感悟,押题精练,真题与押题,1,2,真题感悟,1.(2014大纲全国)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3,解析 数列lg an的前8项和 S8lg a1lg a2lg a8 lg(a1a2a8)lg(a1a8)4 lg(a4a5)4lg(25)44.,C,真题感悟,2,1,2.(2014
9、北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.,解析 a7a8a93a80，a80. a7a10a8a90，a9a80. 数列的前8项和最大，即n8.,8,押题精练,1,2,3,1.已知等比数列an的前n项和为Sn，则下列一定成立的是( ) A.若a30，则a2 0130，则a2 0140，则a2 0130 D.若a40，则a2 0140,解析 因为a3a1q2，a2 013a1q2 012，而q2与q2 012均为正数， 若a30，则a10，所以a2 0130，故选C.,C,押题精练,1,2,3,2.已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，bn .
10、若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围为_.,解析 ana(n1)1na1，,押题精练,1,2,3,因为对任意的nN*，都有bnb8成立，,答案 (8，7),押题精练,1,2,3,3.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足 4Sn4n1，nN*，且a2，a5，a14恰好是等比数列bn的前三项. (1)求数列an，bn的通项公式；,押题精练,1,2,3,an0，an1an2. 当n2时，an是公差d2的等差数列. a2，a5，a14构成等比数列，,a2a1312， an是首项a11，公差d2的等差数列.,押题精练,1,2,3,等差数列an的通项公式为an2n1.,等比数列bn的通项公式为bn3n.,押题精练,1,2,3,(2)记数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nN*，(Tn )k3n6恒成立，求实数k的取值范围.,押题精练,1,2,3,当n3时，cncn1； 当n4时，cncn1.,