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1、2010-2011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之三第三章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: AB为一个映射。定义2 单射，若f: AB是一个映射且对任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3 满射，若f: AB是映射且对任意yB，都有一个xA使得f(x)=y，则称f: AB是A到B上的满射。定义4 一一映射，若f: AB既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: AB。定义5 函数，映射f:
2、AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若xA, yB，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为x|x0,xR. 定义6 反函数，若函数f: AB（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的
3、反函数是y=1-(x0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7 函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）
4、周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8 如果实数ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b），集合x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（a,b，集合x|axa记作开区间（a, +），集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义9 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)
5、的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3 复合函数y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以y=在（-,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增
6、异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题xyx11x1数形结合法。例1 求方程|x-1|=的正根的个数.【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例2 求函数f(x)=的最大值。【解】 f(x)=，记点P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=2.函数性质的应用。例3 设x, yR，且满足，求x+y.【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-，+）上递增。事实上，若a
7、0，所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。【解】 因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5 设f(x)是定义在（-，+）上以2为周期的函数，对kZ, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当xI0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】 设xIk，则2k-10，则由得n0，设f(t)=t(
8、+1),则f(t)在（0，+）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m0。同理有m+n=0,x=,但与m0矛盾。综上，方程有唯一实数解x=3.配方法。例7 求函数y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是-，+）。4换元法。例8 求函数y=(+2)(+1),x0,1的值域。【解】令+=u，因为x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以该函数值域为2+，8。5判别式法。例9 求函数y=的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+
9、3(y+1)x+4y-4=0. 当y1时，式是关于x的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为，7。6关于反函数。例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。【证明】设x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2。即y=f-1(x)在(-,+ )递增。例11 设函数f(x)=，解方程：
10、f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定义域为（-，-）-，+）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且x1x20,所以f(x)在（-，-）上递增，同理f(x)在-，+）上递增。在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，设xy，则f(x)=yy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基础训练题1已知X=-1, 0, 1, Y=-2,
11、 -1, 0, 1, 2，映射f：XY满足：对任意的xX，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_个。2给定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f：XY，若f为单射，则f有_个；若f为满射，则f有_个；满足ff(x) =f(x)的映射有_个。3若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_个交点。4函数y=f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为_。5已知f(x)=，则函数g(x)=ff(x)的值域为_。6已知f(x)=|x+a|，当x3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_。7设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数
12、，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_。8若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_对称。9函数f(x)满足=1-，则f()=_。10. 函数y=, x(1, +)的反函数是_。11求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定义在R上，对任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x2,3时，f(x)=x，则当x-2,0时，求f(x)的解析式。四、高考水平训练题1已知a, f(x)定义域是（0,1，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。2设0a1时，f
13、(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_。3映射f: a, b, c, d1，2，3满足10f(a)f(b)f(c)f(d)0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。11设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为，（），已知函数f(x)=,（1）求f()、f()；（2）求证：f(x)在，上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，则下列等式中正确的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.设函数f：R
14、R满足f(0)=1，且对任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=_.5已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= _.6. 函数f(x)=的单调递增区间是_.7. 函数f(x)=的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非）。8. 函数y=x+的值域为_.9设f(x)=,对任意的aR，记V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求V(a)的最小值。10解方程组： （在实数范围内）11设kN+, f
15、: N+N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意nN+, 有ff(n)=kn，求证：对任意nN+, 都有nf(n)六、联赛二试水平训练题1求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x0, f(x)=xf；（2）对所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.设f(x)对一切x0有定义，且满足：（）f(x)在（0，+）是增函数；()任意x0, f(x)f=1，试求f(1).3. f:0,1R满足：（1）任意x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y0, 1时，f(x)+f(y)f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），
16、（2），（3）的函数f(x)都有f(x)cx.4. 试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5对给定的正数p,q(0, 1)，有p+q1p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值。6已知f: (0,1)R且f(x)=.当x时，试求f(x)的最大值。7函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。8函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。9设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f:
17、Q+Q+，满足这样的条件：f(xf(y)=x, yQ+.2010-2011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十八第十八章 组合一、方法与例题1抽屉原理。例1 设整数n4,a1,a2,an是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合a1,a2,an的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除。证明 （1）若na1,a2,an,则n个不同的数属于n-1个集合1,2n-1，2,2n-2,n-1,n+1。由抽屉原理知其中必存在两个数ai,aj(ij)属于同一集合，从而ai+aj=2n被2n整除；（2）若na1,a2,an，不妨设an=n，从a1,a2,an-1(n-13)中任意取3个数ai, aj
18、, ak(ai,aj0)不被n整除，考虑n个数a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+an-1。）若这n个数中有一个被n整除，设此数等于kn，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上an=n知结论成立。）若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故这个差必为ai, aj, ak-1中若干个数之和，同）可知结论成立。2极端原理。例2 在nn的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于
19、n。证明：表中所有数之和不小于。证明 计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k23.不变量原理。俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。例3 设正整数n是奇数，在黑板上写下数1，2，2n，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。证明 设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+2n=n
20、(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数。例4 数a1, a2,an中每一个是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+ana1a2a3=0. 证明：4|n.证明 如果把a1, a2,an中任意一个ai换成-ai，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S模4并不改变，开始时S=0，即S0，即S0(mod4)。经有限次变号可将每个ai都变成1，而始终有S0(mod4)，从而有n0(mod4)，所以4|n。4构造法。例5 是否存在一个无穷正整数数列a1,a2a3，使得对任意整数A，数列中仅有有限个素数。证明 存在
21、。取an=(n!)3即可。当A=0时，an中没有素数；当|A|2时，若n|A|，则an+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A=1时，an1=(n!1)(n!)2n!+1，当3时均为合数。从而当A为整数时，(n!)3+A中只有有限个素数。例6 一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。证明 首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立。若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数），对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们
22、，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。5染色法。例7 能否在55方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？解 不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。6凸包
23、的使用。给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包。例8 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。证明 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。7赋值方法。例9 由22的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖57的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由。解 将57方格板的每一个小方格内填写数-2和1。如图18-1所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论
24、用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面，方格板上数字的总和为12(-2)+231=-1，当被覆盖K层时，盖住的数字之和等于-K，这表明不存在满足题中要求的覆盖。-21-21-21-21111111-21-21-21-21111111-21-21-21-28图论方法。例10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。证明 用点A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于
25、由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点）。因为每个顶点的次数3，所以可以找到两条边不相邻，设为A1A2，A3A4。（1）若A5与A6连有一条边，则A1A2，A3A4，A5A6对应的三种双色布满足要求。（2）若A5与A6之间没有边相连，不妨设A5和A1相连，A2与A3相连，若A4和A6相连，则A1A2，A3A4，A5A6对应的双色布满足要求；若A4与A6不相连，则A6与A1相连，A2与A3相连，A1A5，A2A6，A3A4对应的双色布满足要求。综上，命题得证。二、习题精选1药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成68副药方，每副药方中恰有5种药，其中至少有一种是
26、烈性的，并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们。试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药？（证明或否定）221个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛，（1）每一个参赛者最多解出6道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证：有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出。3求证：存在无穷多个正整数n，使得可将3n个数1, 2, 3n排成数表a1, a2anb1, b2bnc1, c2cn满足：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2= an+bn+cn=，且为6的倍数。（2）a1+a2+an= b1+b2+bn= c1+c2+cn=，且为6的倍数。4给定正整
27、数n，已知克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。5空间中有1989个点，其中任何3点都不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少？6在平面给定点A0和n个向量a1，a2，an，且使a1+a2+an =0。这组向量的每一个排列都定义一个点集：A1，A2，An=A0，使得求证：存在一个排列，使由它定义的所有点A1，A2，An-1都在以A0为角顶的某个600角的内部和边上。7设m, n, kN，有4个酒杯，容量分别为m,n,k和m+n+k升，允许进行
28、如下操作：将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。开始时，大杯中装满酒而另3个杯子却空着，问：为使对任何SN，Sm+n+k，都可经过若干次操作，使得某个杯子中恰有S升酒的关于m,n,k的充分必要条件是什么？8设有30个人坐在一张圆桌的周围，其中的每个人都或者是白痴，或者是聪明人。对在座的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案，而白痴既可能回答正确，也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过F，求总可以指出一位聪明人的最大的F。9某班共有30名学生，每名学生在班内都有同样多的朋友，期末时任何两人的成绩都可分出优劣，没有相同的。问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？- 9 -