分形理论在材料显微组织定量化分析中的.doc

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1、精品论文分形理论在材料显微组织定量化分析中的应用韩远飞1，曾卫东1，赵永庆25（1. 西北工业大学材料学院凝固技术国家重点实验室；2. 西北有色金属研究院） 摘要：材料显微组织演变过程中微观组织的复杂性、多变性和非规则性，为定量化研究材料 工艺、组织和性能之间的关系带来了巨大的挑战。分形理论的提出为非规则变形组织的定量10化研究提供了一种新的方法。利用分形维数描述显微组织的基本参数，可解决组织测量参数量化这一难题，并建立起材料性能金相组织分形维数之间的关系模型。该方法已被广泛 应用于材料科学的许多领域，在金属断裂、合金凝固与相变、材料磨损、薄膜研究和材料的微结构等方面都取得了很大的进展。本文总

2、结和分析国内外关于分形理论在材料显微组织定量化研究中的应用进展，有利于进一步认识材料微观组织演变并建立材料组织与性能之间的15量化关系。关键词：有色金属及其合金; 分形理论; 定量化; 显微组织；钛合金中图分类号：TF823Applications of fractal theory for the quantitative analysis of20microstructure in materialsHAN Yuanfei1, ZENG Weidong1, ZHAO Yongqing2(1. School of Materials Science and Engineering, Nort

3、hwestern Polytechnical University, Xian710072;2. Northwest Institute for Nonferrous Metal Research, Xian 710016)25Abstract: Due to the complexity, variability and irregularity of microstructure during the microstructure evolution in materials, it caused a big challenge for establishing the relations

4、hip between the microstructures and their properties. Fractal theory was provided as a new method for quantitative analysis of irregular microstructures. The fractal dimension was carried out to describe the microstructural parameters, which can solve the quantification of microstructures, and30esta

5、blished the relationship among property, microstructure and fractal dimensions. This method has been widely used in many fields, such as metal fracture, solidification, phase transformation,wear of metal and film, etc. This paper summarizes and analyzes the progress of fractal theory for quantitativ

6、e study the microstructure in China and abroad. It is helpful to further understanding the microstructure evolution and establishing the quantitative relationship between microstructure and35properties.Key words: Non-ferrous metal and alloy; Fractal theory; Quantification; Microstructure; Titanium a

7、lloys;0引言40材料科学的基本问题是研究材料工艺、组织与性能之间的关系，而建立材料工艺参数、 组织与性能之间定性甚至定量的关系是目前材料科学与工程的核心内容之一1。然而，由于 材料微观组织的复杂性、多变性以及不规则性，使得建立不规则显微组织与性能之间的量化基金项目：国家自然科学基金（51075333），高等学校博士学科点专项科研基金（20116102110015）；西 北工业大学博士论文创新基金（CX21105）；作者简介：韩远飞（1983-），男，博士研究生，主要研究方向：钛合金先进成形与仿真技术通信联系人：曾卫东（1969-），男，教授，主要研究方向：钛合金先进成形与仿真技术. E-

8、mail:- 2 -关系尤为困难。迄今为止，材料微观组织形貌还无法采用传统的数学方法进行定量描述2。 在经典体视学中，通常采用定量金相法测量显微组织特征的平均尺寸、数量和体积分数等这45些几何参数来描述显微组织，这种方法可以有效地表征材料的显微组织，但几乎所有材料显 微组织都是非规则的，显微组织演变过程也呈现高度非线性，采用体视学分析或定量研究显微组织特征的变化情况时，往往必须将材料组织特征假设为六面体（二维）或者十四面体（三 维）。分形理论的创立，则为认识材料显微组织中存在的不规则几何形貌及复杂的物理现象 提供了强有力的工具3，该方法是从一个新的角度去重新考虑显微组织特征（晶粒大小、相50的

9、分布、裂纹的形貌、第二相粒子的大小、数量和分布等）的非线性和不规则性，并非完全 按照传统的定量金相的方法将这些显微组织特征参数量化，其物理机制是随机性与非线性， 而显微组织的演变过程本质上也是非线性，因此，分形理论的提出将为材料科学这类非线性问题的定量分析提供新的科学方法。1分形理论551.1分形理论在材料科学中的研究现状近年来，国内外学者对分形理论在材料科学中的应用进行了大量的研究，尤其是在金属 断裂、合金凝固和相变4、材料微结构、薄膜研究等方面取得了很大的进展。国外在 20 世 纪末就已开始将分形理论应用于材料显微组织的研究中。1984 年，美国 Mandelbrot 在 Nature 上

10、率先报道了冲击断口的分形维数 D 与冲击功 J 的实验结果，测定了马氏体时效钢冲击断60口的分形维数，结果表明，其冲击功 J 随断裂面分维 D 的增加而线性的降低5。Rafael Cols采用“盒计算法”对热处理后的 316L 奥氏体钢材料的微观组织进行了分维分析，得出分形维 数随晶粒尺寸大小的减少而增大6。国内这方面的研究起步较晚，但也已取得了一定进展。 叶瑞英等7利用数字图像法对含 MnS 和含 ZrN 夹杂物的 D6AC 钢测定了试样断口分形维数， 揭示了冲击断口形貌和冲击韧性与夹杂物含量之间的联系，探讨了材料冲击断口形貌与分形65维数的关系，即当冲击韧性较好时，断口形貌呈现韧窝断裂特征

11、，当冲击韧性较差时，断口 则呈现解理断裂的特征，拓宽了分形几何学咋材料领域中的实际应用。此外，周捷等用周积 法(周长一面积法)来研究晶粒的维数，用 Richardson 法来测定了相的谢氏分形维数。研究表 明，晶粒尺寸与相应的晶粒分形维数之间存在线性关系，即随着晶粒尺寸减小(晶粒级别的提高)，分形维数大致有一个直线上升的趋势。由此推断出，晶粒分形维数增大，材料的常70规性能有所提高，并对珠光体球化等级作了分形研究，用小岛法测量了不同球化等级的珠光 体的分形维数，实验结果表明随着球化等级的提高，分形维数在逐渐下降，同时也说明了分 形维数是事物不规则程度的一种度量8, 9。这些研究工作不仅从理论上

12、说明了材料显微组织 具有分形的特征，而且用大量的实验证明了这一事实。利用分形维数描述显微组织的基本参 数，可解决组织测量参数量化这一难题，并建立起材料性能金相组织分形维数之间的关75系模型。但是材料具有复杂性，单凭几个参量还不能完全决定材料的性能，要完全建立起金 相组织和材料性能的关系还要进行深入的研究。为进一步促进分形理论在材料科学领域中的 应用，本文将扼要对近年来分形理论在材料显微组织定量化分析中的应用进行如下总结和分析。1.2分形维数测量方法80分形维数是定量描述分形特征的参数，该参数能够定量描述分形结构不规则程度或破碎 程度，找出分形维数与性能的关系。近年来，分形维数的测量有很多种，如

13、计盒维数法，小岛法、周界最大直径法、垂直剖面法、表面面积直接测量法、谱分析法、二次电子衍射法等。其中应用较广的是小岛法(slit island method)、垂直剖面法(vertical section method)和盒维 数法。- 7 -851.2.1小岛法（如图 1）小岛法最初是由 Mandelbort 等人提出来的，也叫面积周长法。基本原理如下： 形状规则图形的面积 A 与周长 P 有如下关系：PA1 / 2不规则规则图形的面积 A 与周长 P 有如下关系：90P1 / DaA1 / 2(1) (2)式中 D 为 不 规 则 图 形 边 界 线 的 分 维 ， a 为 常 数 。 对

14、 (2) 式 子 两 边 取 对 数 可 得 ln P = b + (D / 2) ln A 。在固定马尺下作ln P - ln A 关系图。则拟合直线斜率的 2 倍即为给图形的 分形维数。小岛法测量比较方便，不需要改变码尺长度就可以跨越几个级的度域范围。但也 存在一定问题，如理论上要求码尺必须足够小，但却不能给出一个确切的范围。为了保证码95尺的大小对实验的结果影响不大，一般情况下总是先设定一个范围，再对一范围的图像进行 分析，看它们维数的差异程度来最终选择一个适合的码尺。1001.2.2垂直剖面法图 1 小岛法图 2 盒维数法Fig. 1 The slit island methodFig

15、. 2 The box counting method垂直剖面法的原理是改变观测尺度用圆和球、线段和正方形、立方体等具有特征长度的 基本图形去近似分形曲线。先把曲线的一端作为起点，然后以此点为中心画一个半径为 r 的 圆，与曲线交于一点，用直线将此点与曲线的起点相连接，再把此交点看作起点，反复进行以上操作，线段总数记为 N (r ) ，若改变基准 r ，则线段总数 N (r ) 也会发生变化：105N (r) = L / r r D ,L r1- D（2）式中 L 为分形曲线的总长度，对上式两边取对数，作ln P - ln A 曲线，根据回归直线 斜率 a 可得分形维数 D = a 。1101

16、.2.3盒维数法该方法是应用较为广泛的一种分形维数计算方法。主要是用边长为 r 的正方形网格分割 分形图像，测量时，用一系列不同尺度的盒子组成的坐标网格来覆盖要研究的分形结构(如 图 2)，对每一尺度 r ，计算出含有分形图形的盒子总数C(r) ，盒子总数与尺度 r 的关系为：C (r ) = ar - D(3)其中，a 为常数，D 为分形结构的盒维数，两边取对数得 ln C(r) = b - D ln r ，根据线性 回归，拟合直线斜率的负值即为盒维数值。1151201251301351401451502分形理论在微观组织定量化研究中的应用对材料科技工作者来说，如何把材料科学中微观组织特征参

17、量与分形维数定量联系起 来，建立分维与材料性能之间的定量关系已引起了各国研究学者的高度重视。分形理论在诸 如晶体表面、晶界形貌、材料断裂机理分析，马氏体分形，高分子分形等涉及材料表面几何 形貌的研究中都有重要作用。2.1材料断口定量研究中的应用断口表面的层次不齐和不规则性，还有凹入的轮廓和表面，这些都给测量和分析工作带来了困难10。分形理论可采用分形维数或其它几何特征参量在特定情况下去代表断口的全 面特征并与某些宏观性能建立定量关系。目前已有诸多学者针对不同断裂方式建立了多种不 同类型的分形模型，如沿晶开裂分形模型11、穿晶脆性断裂分形模型12、沿晶和穿晶耦合 分形模型13、疲劳断裂分形模型1

18、4，韧脆性断裂分形模型15等，图 3 所示为几种典型断裂 方式分形模型。这些材料断口分形模型的建立，最终为认识材料断口与材料宏观力学性能创 造了必要的条件。图 3 几种典型断裂分形模型 (a)沿晶断裂 (b)穿晶断裂(c)沿晶、穿晶耦合断裂Fig. 3 The fractal model of several microscopic fracture models (a) intergranular fracture (b) transgranular fracture(c) coupling of intergranular and transgranular fracture在材料断口分维

19、与材料冲击韧性之间的关系方面，邹鸿承16等利用小岛法对20MnMo钢的冲击断口进行了分形研究，表明冲击韧性与分形维数之间存在着正变化的线性关系： ap = -793 + 581.5D 。根据示波冲击可将材料的冲击韧性分为裂纹萌生比功和裂纹扩展比 功，这说明断口的分形维数可以作为裂纹扩展的真实反映之一。O. A. Hilders17等对铁素体珠光体钢做了冲击试验，应用小岛法测量出试样断裂表面的分形维数DF，指出冲击韧性随着DF的增加而单调上升。但结果却与Mandelbrot5的实验结果背道而驰。有学者18指出， 冲击韧性与DF之间相反的变化是因为测量码尺太大，测量码尺小于Koch曲线图形的边长时

20、， 二者才呈正比关系。魏成富19分别用二次电子线扫描和数字图像法测定了冲击试样断口的分形维数，研究了30Ni2B钢断口的分形维数和冲击韧性的关系，结果表明，试样的冲击韧 性与分形维数成正比关系，即冲击韧性随着分形维数的增大而增大。以上研究都说明材料细 观结构几何特征的不规则性可以用分形维数定量表征，材料的冲击韧性与材料细观结构形貌 之间的关系可以采用分形定量表征出来，分形维数反映了细观结构对材料冲击韧性的影响。在材料断口分维与材料拉伸性能之间的关系方面，刘安中20采用高维分形理论计算了颗 粒复合材料 CaCO3/ABS 拉伸断口表面分形维数，测定了该材料的拉伸强度极限，指出该材 料的拉伸强度极

21、限与断口表面分形维数之间呈现出较好的线性关系。这表明可以用该材料的 宏观力学性能来表征断口表面的微观几何特征。苏辉21等应用分形理论探讨了了拉伸条件 下，分形维数 DF 与拉伸性能之间的关系。结果认为，拉伸性能与分形维数只存在定性关系， 延伸率与分形维教成正比，强度与分形维数成反比关系。这是因为平面应变下，断裂试样的 分形维数应该主要取决于材料的微观结构以及断裂机制，而冲击试验比较接近于平面应变， 故而冲击韧性与其分形维数存在定量关系，拉伸试验属于平面应力状态，试样表面会发生大 的应变，试样断裂表面的分形维数将发生异常变化，所以拉伸性能与分形维数不存在定量关155160165170175180

22、系，只存在定性关系。在材料断口分维与材料断裂韧性之间的关系方面，叶瑞英等22应用分形理论研究了含 MnS 超高强度钢 D6AC 的分形及其分形维数的测量方法，得出试样的韧性与分形维数成正 比关系，即韧性随分形维数的增大而增加，指出若将分形理论和断裂力学结合起来，可以导 出断口表面分形维数和材料断裂韧性之间的定量关系。张萌23则认为，分形维数与常规断 裂力学参数之间并不存在一个普适对应关系，分维在材料的断裂过程中随着裂纹扩展而变 化，这种变化规律在一定程度上反映了长短裂纹间确实存在不同的断裂机制。实际上，对分 形在材料断裂研究中的应用研究中，用分维这一高度抽象的几何量难以反映复杂的断裂破坏过程，

23、Pande24等发现钛合金材料的动态撕裂能和断口分维之间并没有明确的对应关系。 Baran25等也发现对玻璃、陶瓷等脆性材料，断裂分维与断裂韧性间也不存在定量关系。因 此，金属断面的分维与具体金属力学性能的定量关系仍存在着不少的争议与分歧，有待于进 一步的探讨研究。2.2材料微观结构的定量研究材料热变形过程当中，显微组织演变具有非线性和复杂性，很难用传统的数学工具或单 一的显微组织特征参数去定量的描述26, 27。大量研究表明金属显微组织具有分形特征，可 以采用分形维数对其进行客观和全面的表征6。为此，李萍等人28-30以 Ti-15-3 合金热压缩变形再结晶晶粒图像作为研究对象（如图 4a

24、所示），采用盒维数法对不同变形温度、变形程度和变形速率下的显微组织形貌进行了分形 分析，表明该合金热塑性变形显微组织具有分形特征，可使用分形维数定量描述显微组织形 貌，且再结晶组织分形维数随着变形温度的升高而减小（如图 4b 所示），随变形程度和变 形速率的增大而增大，分形维数反映了热变形过程中软化过程进行的程度和金属变形抗力的 大小，分形维数越小，软化过程进行的越充分，金属的变形抗力越小。图 4 再结晶组织分形维数28-30 (a)再结晶组织组织的二值图 (b) 变形温度对分形维数及晶粒尺寸的影 响. Fig.4 Fractal dimensions of the recrystallize

25、d microstructure 28-30 (a) Binary images of recrystallizedmicrostructure: (b)Influence of deformation temperature on fractal dimension and grain sizeLiu Zheng等31,32应用Matlab编程和图像计盒分形维数的计算方法，定量化研究了半固态A356铝合金初生相形貌的分形特征以及半固态初生相形貌演化的规律（如图5所示）。图5 不同温度下保温1min的半固态A356铝合金初生相形貌31, 32Fig 5. Morphologies of pri

26、mary phase in semi-solid A356 alloy poured at different temperatures for 1min31, 32结果表明半固态A356合金的凝固过程是一个分形维数变化的过程，其初生相形貌具有185190195200205210分形特征，不同工艺条件制备的初生相形貌具有不同的分形维数，分形维数大的初生相，其形貌复杂；分形维数小的初生相，其形貌趋于简单，保温温度对半固态A356铝合金初生相 形貌的分形维数有重要影响：随着保温温度的降低，分形维数逐渐减小，半固态初生相形貌 越简单。夏秀文33等将利用图像处理技术提取了纳米化 Zr-4 合金金属/氧

27、化膜腐蚀界面形貌图， 研究了腐蚀界面形貌的分形特征，并从分形的角度上进一步揭示纳米化 Zr-4 合金的腐蚀机 理。Hisatsune34也指出 CuAu 合金晶粒的边界可用分形表示，但分形维数随着晶粒尺寸的变 化而变化。这些研究都表明，实际的合金显微组织具有分形特征，为人们用分形表征合金显 微组织的形貌提供了理论依据，应用分形理论来定量描述合金显微组织形貌的变化规律甚至 各种组成相的形成机理是完全可能的。2.3材料相变和凝固等其它方面龙起易35 等采用理论计算和 Richardson 作图法测量了 Fe-29%Ni-0.16%C 合金冷至-125所得马氏体和残余奥氏体构成的显微组织的分形维数，

28、从而描述了马氏体相变的的分 形维数的物理意义：分维值越大，残余奥氏体随马氏体尺寸减小而减少的比率越低，同一形 态的马氏体和残余奥氏体构成的显微组织是否具有分形特征，决定于残余奥氏体面积和马氏 体尺寸之间满足一定的固定关系。王有明等36对枝晶生长过程作了模拟，表明枝晶生长结 构具有分形特征，灰铸铁凝固组织即初生相也具有分形特征, 并提出了描述复杂形态的树枝 晶的有效参数即金相截面上树枝晶分布的盒计数维数。孙力玲等37用分形分析的方法定量 描述了定向凝固高温合金的树枝晶晶界形貌，指出随着凝固速率的提高，晶界分形维数均增 大，并讨论了凝固合金系统熵与晶界分形维数之间的定量关系，系统熵减小，原子向生长

29、着 的固相表面跃迁能力增加，易形成更加粗糙的表面，最终使晶界分形维数增大。3结论与展望总的来说，运用分形理论分析材料显微组织特征，并建立起分形维数与材料宏观力学性 能之间的量化关系具有十分重要的意义，一旦建立起确定的关系，就可以直接从材料显微组 织的分维分析来推测材料微观组织演变的性质，这对于材料和部件的服役分析将有重要的意 义。参考文献 (References)2152202251 Wang K X,Zeng W D, Shao Y T, et al. Quantification of Microstructural Features in Titanium Alloys Based on

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