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1、精品论文1模糊中立型时滞系统的 H 滤波 李泽，徐胜元 南京理工大学自动化学院，南京（210094）E-mail: ,摘要：本文考虑一类时滞 Takagi-Sugeno 模糊系统系统的 H 滤波问题，主要设计了一个 模糊滤波器，满足稳定性要求和给定的滤波误差系统的 H 性能要求。由线性矩阵不等式 (LMIs)得到一组解的充分条件。最后给出数值算例验证本文方法的有效性。 关键词：模糊系统； H 滤波；中立型时滞系统；Takagi-Sugeno 模糊模型；LMIs1. 引言在过去的几十年中，Takagi-Sugeno（T-S）模糊模型1得到了很广泛的重视，例如，文 献2研究了模糊系统的稳定性问题，
2、模糊系统的控制问题在文献3,4中得到了研究，文献5 则是设计了模糊系统的模糊滤波器。另一方面，众所周知时滞广泛出现在实际的系统当中， 由于时滞是导致系统不稳定以及系统性能下降的一个主要原因，很多学者开始致力于各类时 滞系统的研究。模糊时滞系统在文献6中被提出并加以研究，文献1则对于 T-S 模型的模糊系统的稳定性进行了分析和综合。一类非线性模糊系统的鲁棒模糊 H 状态反馈控制器问 题在7中给予了说明。此外，文献8设计了模糊中立型时滞系统的鲁棒 H 控制器。对于单一的模型不确定性， H 滤波器比卡尔曼滤波更为敏感，而且 H 滤波器不需要精确的噪声源信息9，由此 H 滤波器问题吸引了很多学者的关注
3、，其主要目的是设计一个估计器，使得可能产生的最坏的有界能量扰动的估计误差能量能够抑制在一个给定的水平之内。目前有很多针对 H 滤波器设计的文章，如文献10及其参考文献。近年来模糊系统的11,12- 11 -H 滤波问题也得到了大量的研究，当时滞出现在 T-S 模糊系统中时，文献5给出了 H 滤波的充分条件。值得注意的是文献8提出了中立时滞 T-S 模糊系统并解决了该系统的 H 控制问题。然而，该类系统的滤波问题还没有相应的结果。本文考虑 T-S 模糊中立时滞系统的 H 滤波问题，目的是设计一个模糊滤波器满足稳定 性条件，且滤波误差系统满足给定的 H 性能指标。本文采用 LMI，给出了问题解决的
4、充分 条件，最后给出了数值算例证明方法的有效性。2. 问题描述考虑如下中立型时滞模糊系统 ( ) ：rx&(t ) = hi (s(t ) Ai x(t ) + Adi x(t 1 ) + Ahi x&(t 2 ) + Di (t )i =1ry(t ) = hi (s(t ) Ci x(t ) + Cdi x(t 1 ) + Ei (t )i =1rz(t) = hi (s(t ) Li x(t ) + Ldi x(t 1 )i =1(1)1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金(20060288021)的资助。其中 ij 为模糊集，r 是模糊规则数；x(t ) R n表示系统的状态； y
5、 (t ) Rm表示系统的控制输出； z(t ) R q 是一个待测的系统状态变量的线性组合； (t ) R p 表示属于L2 0, )空间的噪声信号；1和 2 表示固定的时滞； (t ) 表示的是系统的初始条件，并且这里 Ai , Adi , Ahi , Ci , Cdi , Ei , Di , Li , Ldi 均是已知合适维数矩阵。ih (s(t ) = i (s(t ), (s(t ) =q (s (t ), s(t ) = s (t ) s (t)Ls (t ) ，ri i (s(t )j =1ijj 12qj =1对于所有的 t， i (s(t ) 0, i = 1, 2,L, r
6、,r j (s(t ) 0,j =1hi (s(t ) 0, i = 1, 2,L, r,r hi (s(t ) = 1.i =1(2)由此，针对估量 z(t)我们考虑如下的模糊滤波器：rx&(t ) = hi (s(t )i =1rAfi x(t ) + B fi y(t ) ,(3)z(t) = hi (s(t )i =1TT TL fi x(t ), i = 1, 2,L, rnp设 (t ) =x(t ) x(t) , z%(t) = z(t) z(t). x (t ) R且 z (t ) R， Afi , B fi 和Lfi 为待设计的矩阵，由(1)和(3)可以得到动态滤波误差系统(
7、 % )如下形式表示：rr&(t ) = hi (s(t )hj (s(t )Aij (t ) + Adij H (t 1 ) + Ahi H&(t 2 ) + Dij (t )i =1j =1(4)rrz%(t ) = hi (s(t )hj (s(t )Lij (t ) + Ldi H (t 1 )i =1其中 Aj =10 A A D A =j, A =dj , A =hj , D =j , L= LL , H = I0.ij B C A dijB C hij 0 ij B E ij j fi fi j fi fi dj i j 本文的鲁棒 H 滤波问题可以做如下表述：给定模糊中立型系统
8、（1）和噪声扰动抑制水平 0 ，设计一个形如(3)式的滤波器满足：（I）滤波误差系统( % )是渐进稳定的；（II）在零初始条件下，对于任意的 (t ) L2 0, )误差系统( % )满足z(t ) 0, Q1 0, Q2 0 使得如下的线性矩阵不等式当1 i j r 时成立：TTTijP( Adij + Adji )P( Ahij + Ahji )P(Dij + Dji )( Aij + Aji )H Q2(Lij + Lji ) T T T *2Q100( Adij + Adji )H Q2(Ldi + Ldj ) *2Q20( Ahij + Ahji )H Q20 0 (6)TT *2
9、 2 (D + D )T H T Q0 *2Q2*02I2ijji2这里T Tij = P( Aij + Aji ) + ( Aij + Aji )证明 首先，我们令P + 2H Q1 H ,(7)T t T Tt T T1V (t , t ) = (t)P (t) + t (t)H Q1H (t) + t &(s)H Q2 H&(s)ds(8)T其中t = (t + ), h, 0 ， h = max1 , 2 .则 (t ) = 0 时，V (t , t ) 的微分为V& (t , t ) = (t ) ( + ) (t ).(9)其中T T T T (t ) = (t )x(t 1 )x
10、&(t 2 ), PA+ A T P + H T Q HPAPA r r ij ij1 dij hij(10) = hi (s(t )hj (s(t ) Q10 ,i =1j =1 Q2 A T H T r r ij r r = hi (s(t )hj (s(t ) AdijT H T Q2 hi (s(t )hj (s(t )HAijHAdijHAhij i =1j =1 A T H T i =1j =1由(6)得 hij PA+ A T P + H T Q HPAPAA T H T Q r r ij ij1 dij hij ij 2 T T h (s(t)h (s(t) Q1 0AdijH
11、 Q2 0 i j T T(11)i =1j =1 Q2AhijH Q2 该式等价于 Q2 A T H T rr ij hi (s(t )hj (s(t ) AdijT H T Q2 0.i =1j =1 A T H T (12) Q2 hij 应用舒尔补定理，可以得到+ 0.(13)可知对于所有的 (t ) 0,V& (t , t ) 0。在零初始条件下，对于任意非零 (t ) L2 0, )和 T0，如下式成立：TTTJT = 0z%(t ) z%(t ) 2 (t ) (t ) + V& ( , t )dt V ( , t )(15)tTTT计算得 0z%(t ) z%(t) 2 (t
12、) (t ) + V& ( , t )dt,tz%(t )T z%(t ) 2 (t )T (t ) + V& ( , t ) %(t )T (% + % + )%(t ).其中(16)TTTT T%(t) = (t) x(t 1 )x&(t 2 ) (t ) ,tt PA+ A T P + H T Q HPAPAPD rrijij1dijhijij ij% = h (s(t )h (s(t ) Q100 ,i =1j =1 Q20 2 I ij A T H T rr AT H T dij % = hi (s(t )hj (s(t) AT H T Q2 i =1j =1hijTTD Hij r
13、r hi (s(t )hj (s(t ) HAijHAdijHAhijHDij ,(17) i =1j =1ij L T rr LT rrh (s(t )h (s(t) dij h (s(t )h (s(t ) LL00 = ij ij ijdij i =1j =1 0 i =1j =1 0同(11)和(12)的过程，容易得% + % + 0.可知tz%(t )T z%(t ) 2 (t )T (t ) + V& ( , t ) 0,Y 0, Zi 0, M i 0, Ni 0, Q1 0, Q2 0,1 i 如下的线性矩阵不等式成立j r 使得1 1 2 34 5 T 2Q100( Adi
14、+ Adj ) Q2T6 2Q20( Ahi + Ahj ) Q20 0,其中(21) 11 =12 ,1 T 1222 T11 = Y ( Ai + Aj ) + ( Aj + Ai )Y + 2Q1 ,TTTTTTT12 = Y ( Ai + Aj ) + ( Aj + Ai )X + Ci Z j+ C j Zi+ M i+ M j+ 2Q1 ,TTTTT 22 = X ( Ai + Aj ) + ( Aj + Ai )X + Ci Z j+ C j Zi+ Z j Ci + Zi C j + 2Q1 , Y ( Adi + Adj )1 = X ( A+ A ) + Z C+ Z C
15、, didjj dii dj Y ( Ahi + Ahj ) 2 = X ( A+ A ) , hihj Y (Di + D j )3 = X (D + D ) + Z E+ Z E , ijj ii j T(22)( A + A ) =didjQ2 ,4( A+ A )T Q didj2ij,(L + L )T ( N+ N )T 5 = ijij(L + L )TT6 = ( Ldi + Ldj ) .此时形如(3)的模糊滤波器设计为：A = S 1M Y 1W T , B= S 1Z , L= N Y 1W T , i = 1, 2,Lr,(23)fi i fi i fi i其中 S 和
16、 W 为满足下式的非奇异矩阵：SW T = I XY 1(24)证明 首先注意到(24)式表示 I XY 1 为非奇异的。因此总是存在非奇异的矩阵 S 和 W 使得(24)满足。接着引入如下非奇异矩阵：Y 1I IX 1 =W T, 2 =T ,00S(25) 2 1设 P% = 1. 计算可得P% = XS , = W 1Y 1 ( X Y )Y 1W T 0.(26) S T 由此可得 P% 0. (20)式左乘右乘 diag (Y 1 , I , I , I , I , I ), 可以得到对1 i j r, T 1 ij 1 T (Adij + Adji ) P%12Q1 (Ahij +
17、 Ahji ) P%102Q2 0,T2 ij ji 1 (27)(D + D )T P%002 2I ij ji 1 HQ (A + A )HQ2 (Adij + Adji )1HQ2 (Ahij + Ahji )1HQ2 (Dij + Dji )12Q2 (Lij + Lji )1Ldi + Ldj0002I11ij 在(7) 中给出， P% 代替了 P 。 Afi , Bfi i , L 在(23) 中给出。接着对(27) 分别左乘右乘diag ( T, I , I , I , I , I ) 和 diag ( 1, I , I , I , I , I ) , 并使 用 舒尔补 定理 ，
18、可得 对所 有的 1 i j r, (5)式成立，由此证明结束。4. 数值算例本节中给出数值算例验证滤波器的有效性。本例中的模糊规则数取为二，取7.9100 -7.1190 1.0 0 0.1 -0.1 -9.4920, 6.3328 0.50.2 -0.6 -0.2A1 = , Ad 1 = , Ah1 = , C1 = -0.3 0.7 ,-0.2 0.5 Cd 1 = -0.8 0.6 , E1 = 0.3, D1 = , L1 = -1.0 -0.5 , Ld 1 = -0.1 -0.3 ,1 = 0.8, -10.2830, 3.9550 0.6 0.2 -0.5 -0.3A2 =
19、5.5370 -7.9100 , Ad 2 = 0.5 -0.8 , Ah 2 = 0.2 -0.2 , C2 = 0.5-0.6, 0.3 Cd 2 = -0.2 1.0, E2 = -0.6, D2 = 0.1 , L2 = 0.20.3, Ld 2 = -0.2-1.0, 2 = 0.5,规则函数为：1for x1 11for x1 10forx1 1本例中，由定理 2，用 LMI 工具箱，解得14.16014.162310.44633.740111.6316X = 4.162314.3375 , Y = 3.7401 11.6106 , Z1 = 4.1772 , 97.854397.
20、3512118.130555.0306 M1 = 97.1040102.8020 , M 2 = 63.837367.0333 , 46.181239.84681.1132 0.7074 4.9670 Q1 = 39.846843.4777 , Q2 = 0.7074 1.6643 , Z2 = 0.2483 ,N1 = 1.07130.4221, N2 = 0.34890.1874.因此定理二中的 H 滤波问题是可解的。为了设计该稳定模糊滤波器，选择 S 和 W 如下： 10.50.29420.1527S = ,W = .(28)0.81 0.18600.1286所设计的滤波器为： 0.34
21、6614.8873 13.727911.2363 6.8165Af 1 = 5.428157.2905 , Af 2 = 7.783638.6291 , B f 1 = 9.6303 , 3.6365L f 1 = 0.47390.0472, L f 2 = 0.17140.0330, B f 2 = 2.6609 .系统状态和滤波器状态曲线如图 1 所示，初始条件为 0.8 1.6T (t ) = 1 /(2 + t), t 0 ,图 2 给出 z (t ) 和 z%(t ) 的仿真曲线。，扰动设为 1.51x1 x2filter-x1filter-x20.50.40.3filter-z(t
22、)0.500.20.10-0.5-0.1-1050 100150200250300-0.2050 100150200 250 300 350400450500图 1 原系统 x(t ) 和滤波 x(t ) 的状态响应曲线图 2 信号 z (t ) 和 z%(t ) 曲线Fig. 1 State response of x(t ) and x(t ) Fig. 2 Response ofz (t ) andz%(t ) 5. 结 论本文研究了模糊中立型时滞系统的 H 滤波问题。模糊滤波器的设计应用了 LMI 方法， 所设计的滤波器满足稳定性条件及给定的滤波误差系统的 H 性能要求。仿真算例证明了
23、该 方法的有效性。参考文献1Takagi T, Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and controlJ.IEEE Trans. Syst. Man Cybernet., 1985,15:116-132.2Johansson M,Rantzer A, Arzen K E. Piecewise quadratic stability of fuzzy systemsJ. IEEE Trans. FuzzySyst, 1999,7:713-721.3Feng G, Senior M
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29、ShengyuanSchool of Automation, NJUST, Nanjing (210094)AbstractThis paper is concerned with the problem of robust H filtering for Takagi-Sugeno fuzzy neutralsystems with time-varying delays. Attention is focused on the design of a fuzzy filter ensuring both the robust stability and a prescribed H per
30、formance of the filtering error system. Sufficient conditions for the solvability of the problem are obtained in terms of linear matrix inequalities (LMIs), which can be readily tested by using standard numerical software. Finally, a numerical example is provided to demonstrate the effectiveness of the proposed approach.Key Words: Fuzzy systems; H filtering; neutral delay systems; Takagi-Sugeno fuzzy models; LMIs作者简介:李泽(1983-)，女，山西太原人，南京理工大学在读博士生，主要研究方向：模糊系统, 鲁棒 控制滤波等研究。徐胜元(1968-)，男，浙江湖州人，教授,博士生导师，主要研究方向：奇异系统，模糊系统， 鲁棒控制与滤波。