《2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第六单元第一节 平面向量的概念及其线性运算.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第六单元第一节 平面向量的概念及其线性运算.ppt（43页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1. 向量的有关概念及表示法,大小,方向,长度,模,0,0,1,e,相同,相反,平行,ab,平行,相等,相同,a=b,相等,相反,-a,0,2. 向量的线性运算,b+a,a+(b+c).,三角形,平行四边,三角形,a+(-b),3. 向量共线定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .,b=a (a0),相同,相反,0,a+a,a+b,典例分析,题型一 平面向量的有关概念 【例1】给出下列五个命题 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若|a|=|b|,则a=b; 在ABCD中,一定有 ; 若m=n,n=p,则m=p; 若
2、ab,bc,则ac. 其中正确的序号是_.,分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解 决本题的关键.,解 两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故不正确.正确. 学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面: 向量的模;向量的方向;向量的几何表示;向量的起点和终点. (2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况: 零向量与任何向量共线；单位向量的长度为1，方向不固定.,举一反三,1.已知下列
3、命题： 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a,b 中的一个方向相同； 在ABC中，必有 若 ，则A,B,C为一个三角形的三个顶点； 若a与b均为非零向量，则 一定相等。 其中真命题的序号为 。,解析： 错误，a+b=0时，就不满足结论。正确， . 错误，A,B,C三点还 可以共线。错误，只有a与b同向时才相等。,答案： ,分析 在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即 用 来分别表示待求的向量.,题型二 平面向量的线性运算,证明 AD=AC+CD,AD=AB+BD, 2AD=AC+AB+CD+BD, 即2AD=AC+AB. 同理2BE=BA+BC,2CF=CA+CB
4、. 所以2(AD+BE+CF) =AC+AB+BA+BC+CA+CB=0. 故AD+BE+CF=0. 学后反思： 平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意: (1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.,(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有 (其中O为任一点).,举一反三,2.已知ABCD， ,若 用a,表示,解析： 如图,题型三 向量的共线问题 【例3】 设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线. 分析 用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理,
5、得到BD=AB(或AD=AB等),BDAB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线. 证明 BC=2a+8b,CB=-2a-8b, BD=CD-CB=3a-3b+2a+8b=5(a+b), BD=5AB.,由向量共线定理得BDAB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.,学后反思 (1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
6、解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.,举一反三 3. 设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值. 解析： BD=CD-CB=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.若A、B、D三点共线,则ABBD;从而存在唯一实数,使AB=BD,即k的值为-8时,A、B、D三点共线.,即2e1+ke2=(e1-4e2),整理得(2-)e1=-(k+4)e2, e1、e2不共线,题型四 向量知识的综合应用 【例4】（14分) 已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2, 其中e
7、1,e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数,使向量d=a+b与c共线? 分析 运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.,解 d=a+b=(2e1-3e2)+(2e1+3e2) =(2+2)e1+(3-3)e2 4 要使cd,则应存在实数k,使d=kc, 6 即(2+2)e1+(3-3)e2=k(2e1-9e2)=2ke1-9ke2, 8 e1,e2不共线, 故存在这样的实数,只要满足=-2,就能使d与c共线14,学后反思 设 不共线,若 则有 ,本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.,举一反三 4. 已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0
8、,若实数满足AB+AC=AP,求的值. 解析： AB+AC=AP, PB-PA+PC-PA=AP, 即PB+PC-2PA=AP. 又PA+PB+PC=0, PB+PC=-PA, -3PA=AP=-PA, =3.,考点演练,10.已知直线x=x=a与圆 交与A,B两点，且 ， 其中O为坐标原点，求实数a的值。,解析： 如图所示，以OA.OB为边作OABC，则由 得： OABC为矩形。 由图像得，直线y=-x+a在轴上的截距为2. a=2,11.在四边形ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点，求证：,方法二：取BD的中点O,则,证明: 方法一：如图，连接EC，EB，则 而,12.(2009江苏模
9、拟)已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6）， （1）求证：当时，不论为何实数，A,B,M三点共线； （2）若 ，求当 且ABM的面积为12时a的值,解析： （1） 当 时， A,M,B三点共线。,(2)当 时， 故 点M 到直线AB:x-y+2=0的距离为 解得a=2 ，故所求a的值为2.,第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等
10、比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 3. 等比中项 如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.,4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal= aman. (3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列.,5. 等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则S
11、n,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算 【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项. 分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论. 解 若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 将代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an为递增数列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比
12、数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q)=b, 由 得 则a99(1+q)=x, 由 得 答案:,举一反三 1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.,题型二 等比数列的判定 【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*). (1)求证：数列an+1是等比数列; (2)求通项公式an. 分析 利用等比数列的定义证明 为非零常数即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+
13、1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列. (2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有： (1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)； (2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).,举一反三 2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1,
14、 n=1 ,n2, n2 显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列. 必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得,题型三 等比数列的性质 【例3】 (1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.,分析 (1)利用等比数列的性质求解. （2）注意4个数成等比数列的设法. 解 （1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这四个数为
15、a,aq,aq2,aq3, 则 学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三 3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值. (2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2， a17+a18+a19+a20=S424=124=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a
16、34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,题型四 等比数列的最值问题 【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比. (1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析 （1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式. （2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为 学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题
17、的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三 4. （2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）. (1)判断an是何种数列，并给出证明； (2)若a8+a13=m,求b1b2b20; (3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值. 解析: (1)证明:设bn的公比为q, bn=3an, 3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m, 由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m. (3
18、)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项. （1）求 的通项公式; (2)求,错解(1)由已知得 , 又 ,得 , 两式相减得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列， 故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列 an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时， . 又 , 由、得 (n2), 上两式
19、相减得 , 成等比数列， 其中 ,即 , , 当n2时，,即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.,【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比,错解 依题意，设这四个数为 , ,aq, , 则 , , 由得 ,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或,错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题 过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里. 正解 依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 解得 或,
20、考点演练,10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求,解析： 由等比数列性质得， , , , 成等比数列， 则 由 得 ,又 解得,11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值； （2）若 ，求n的值.,解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.,12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列； （2）求数列 的通项公式.,解析： (1)由 及 ,得 ,即 , , 当n2时， . -得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.,（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即,