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1、,对数函数的图像和性质,咸阳师院附属中学,殷敏,一.复习对数函数的概念,定义： 函数 y = loga x (a0,且a 1 ) 叫做对数函数.,其中 x是自变量, 函数定义域是（ 0 , +）。,图 象,性 质,y,x,0,y=1,(0,1),y=ax (a1),y,x,(0,1),y=1,0,y=ax (0a1),定 义 域 :,值 域 :,恒 过 点：,在 R 上是单调,在 R 上是单调,a1,0a1,R,( 0 , + ),( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .,增函数,减函数,指数函数 的图像及性质,当 x 0 时，y 1. 当 x 0 时，. 0 y 1,当 x
2、 1； 当 x 0 时， 0 y 1。,对称性： 和 的图像关于y轴对称.,.描点画图.,作 和 的图像,.,O,X,Y,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,-1,-2,-3,Y=log2x,Y=log1/2x,将两图放入同一坐标系下观察：,三.对数函数的性质:,现在我们同样利用描点法在同一坐标系 下作出 和 的图像，观察图像并 归纳总结性质.,a1,0a1,图像,性质,定义域： 值域：R,过点（1，0），即x=1时,y=0,x1时,y0 0x1时,y0,00 x1时,y0,在(0,+上是增函数,在(0,+上是减函数,总结其它性质：,（1）y=logax (a0,且a 1 )与y=
3、log1/ax (a0,且a 1 ) 的图像关于x轴对称。,（2）对数函数是非奇非偶函数。,考虑：根据作出的图像，还能得到 其他性质吗？,刚才利用描点法作出了 和 的图像. 思考：还有其他方法可以作出它们的 图像吗？,我们现在在同一坐标系下作出 ， 和 ， 的图像，并观察分析它们之间的关系.,X,Y,O,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,7,Y=log2x,Y=X,Y=2x,-1,-1,-2,从图上可以看出： 点(0,1)与点(1,0)关于直线y=x对称，点(-1, )与点( ,-1)点关于直线 y=x对称.则 上的点p(a,b)与 上的点(b,a)关于直线 y=x对称.,并且函数
4、和 互为反函数，由此，我们总结出：,.利用对称性画图.,因为指数函数y=ax (a0,且a 1 )与对数函数,y=logax (a0,且a 1 )互为反函数，所以它们 的图象关于直线y=x对称。,则： 上的点p(a,b)关于y=x的对称点Q(b,a)总在 上.故利用对称点可作出 的图像.,例1求下列函数的定义域：,（1）,（2）,解 :,解 :,由,得,函数,的定义域是,由,得,函数,的定义域是,（3）,解 :,由,得,函数,的定义域是,应用：,和x0,且x 1,例2 比较下列各组数中两个值的大小： log 23.4 , log 28.5 log 0.31.8 , log 0.32.7 log
5、 a5.1 , log a5.9 ( a0 , a1 ),解:考察对数函数 y = log 2x,所以它在(0,+)上是增函数,于是,log 23.4log 28.5,考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数为0.3,即00.31,所以它在(0,+)上是减函数,于是,log 0.31.8log 0.32.7,因为它的底数21, log a5.1 , log a5.9 ( a0 , a1 ),(对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1. 而已知条件中并未指出底数a与1哪个大, 因此需要对底数a进行讨论),解:当a1时,函数y=log ax在(0,+)上是增函数,于是,当0
6、a1时,函数y=log ax在(0,+)上是减函数,于是,log a5.1log a5.9,log a5.1log a5.9,练习: 比较下列各题中两个值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.51.6 log1.51.4,例3 比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; log 3 , log 2 0.8 .,解: log67log661,log20.8log210,说明:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小. 当“底真”不同不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一 个“桥梁”(如1或
7、0等),间接比较上述两个对数的大小.,提示 : log aa=1,提示: log a1=0,log76log771, log67log76, log3log310, log3log20.8,对数函数y=log a x (a0, a1),指数函数y=ax (a0,a1),(4) a1时, x0,y1,01;x0,0y1,(4) a1时,01,y0,00; x1,y0,(5) a1时, 在R上是增函数； 0a1时,在R上是减函数,(5) a1时,在(0,+)是增函数； 0a1时,在(0,+)是减函数,(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1,(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0,(2)值域：(0,+),(1)定义域：R,(1)定义域： (0,+),(2)值域：R,y=ax (a1),y=ax (0a1),x,y,o,1,y=logax (a1),y=logax (0a1),x,y,o,1,指数函数、对数函数的图象和性质,（2）看见函数式想图像，结合图像记性质。,(1) 类比记忆指数函数和对数函数。,小结,思考：,比较大小： （1） （2）,提示：此种比较大小属于“同真”.,作业,习题3-5 3，4,