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1、4.2 指数函数 课后篇课后篇巩固提升 基础巩固 1.函数 f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数 m 的值为( ) A.2B.1C.3D.2 或-1 解析由指数函数的定义,得 m2-m-1=1,解得 m=2 或-1,故选 D. 答案 D 2.已知对于任意实数 a(a0,且 a1),函数 f(x)=7+ax-1的图象恒过点 P,则点 P 的坐标是( ) A.(1,8)B.(1,7) C.(0,8)D.(8,0) 解析在函数 f(x)=7+ax-1(a0,且 a1)中,当 x=1 时,f(1)=7+a0=8.所以函数 f(x)=7+ax-1(a0,且 a1)的图 象恒过定点 P(1,8
2、).故选 A. 答案 A 3.当 x-2,2)时,y=3-x-1的值域是( ) A.B. (- 8 9 ,8 - 8 9 ,8 C.D. ( 1 9 ,9 ) 1 9 ,9 解析-2x 0, ( + 1) - 1, 0,a1)的图象可能是( ) 解析当 a1 时,y=ax是增函数,-abcB.bac C.cabD.bca 解析31,0ac.) 1 5=5 - 3 答案 B 7.若函数 y=的定义域是(-,0,则 a的取值范围是 . - 1 解析由 ax-10,知 ax1.当 x0 时,ax1 成立,再结合指数函数的单调性知,00 且 a1. ( 2, 1 2) (1)求 a 的值; (2)求函
3、数 y=f(x)+1(x0)的值域. 解(1)因为函数 f(x)=ax-1(x0)的图象经过点,所以 a2-1=a= . ( 2, 1 2) 1 2 (2)由(1)得 f(x)=(x0), ( 1 2) - 1 函数为减函数, 当 x=0 时,函数取最大值 2,故 f(x)(0,2, 所以函数 y=f(x)+1=+1(x0)(1,3, ( 1 2) - 1 故函数 y=f(x)+1(x0)的值域为(1,3. 10.已知函数 f(x)=a-(xR), 1 2+ 1 (1)用定义证明:不论 a 为何实数,f(x)在(-,+)内为增函数; (2)若 f(x)为奇函数,求 a的值; (3)在(2)的条
4、件下,求 f(x)在区间1,5上的最小值. (1)证明 f(x)的定义域为 R, x1,x2R,且 x10,21 222122 f(x1)-f(x2)0 且 a1),x-k,k,k0的图象可能为( ) 解析由题意易知,函数 y=a|x|+1 为偶函数,且 y1,排除 A,B. 当 a1时,函数图象在0,k上单调递增,但图象应该是下凸,排除 D.选 C. 答案 C 2.定义 maxa,b,c为 a,b,c 中的最大值,设 M=max2x,2x-3,6-x,则 M 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6 解析画出函数 M=max2x,2x-3,6-x的图象,如图所示. 由图可知,函数 M在 A
5、(2,4)处取得最小值 22=6-2=4,即 M 的最小值为 4,故选 C. 答案 C 3.已知函数 f(x)=a-,若 f(x)为奇函数,则 a= . 1 2+ 1 解析(方法一)f(x)的定义域为 R,且 f(x)为奇函数, f(0)=0,即 a-=0.a= . 1 20+ 1 1 2 经检验 a= 满足要求. 1 2 (方法二)f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x), 即 a-a,解得 a= . 1 2 - + 1 = 1 2+ 1 1 2 答案 1 2 4.函数 y=的值域为 . ( 1 2) 2 - 2 解析由题知函数的定义域为 R. 2x-x2=-(x-1)2+11, 又 y=
6、为减函数, ( 1 2) . ( 1 2) 2 - 2 (1 2) 1 = 1 2 故函数 y=的值域为. ( 1 2) 2 - 2 1 2, + ) 答案 1 2, + ) 5.已知函数 f(x)=ax+b(a0,且 a1). (1)若 f(x)的图象如图所示,求 a,b 的值; (2)若 f(x)的图象如图所示,求 a,b 的取值范围; (3)在(1)中,若|f(x)|=m 有且仅有一个实数解,求出 m的取值范围. 解(1)因为 f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以解得 a=,b=-3. 2+ = 0, 0+ = - 2, 3 (2)由 f(x)为减函数可知 a的取值范围为(
7、0,1), 因为 f(0)=1+b0,且 a1,函数 y=a2x+2ax-1 在-1,1上的最大值是 14,求实数 a 的值. 解令 t=ax(a0,且 a1), 则原函数化为 y=f(t)=(t+1)2-2(t0). 当 00,所以 a= . 1 3 当 a1 时,x-1,1,t=ax,a , 1 此时 f(t)在,a 上是增函数. 1 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14. 解得 a=3 或 a=-5(舍去负值). 综上得 a= 或 3. 1 3 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y),当 x0 时,f(x)1. (1)求 f(0); (2)证明:f(x-y)=; () () (3)判断 f(x)的单调性. (1)解令 x=1,y=0,得 f(1)=f(1)f(0), 由条件知 f(1)0,f(0)=1. (2)证明设 x0. 令 y=-x,则有 f(0)=f(x)f(-x)=1, f(x)=.f(-x)1,00. 设 x1,x2是 R 上任意两个值,且 x10,f(x2-x1)1. f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1) =f(x1)-f(x2-x1)f(x1) =f(x1)1-f(x2-x1)0, f(x1)f(x2),f(x)在 R 上是增函数.