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1、第五章测评第五章测评 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分) 1.若角 的终边与单位圆的交点坐标是,则 cos=( ) ( , - 3 3) ( 2 + ) A.-B.C.-D. 3 3 3 3 6 3 6 3 解析依题意有 sin =-, 3 3 于是 cos=-sin =. ( 2 + ) 3 3 答案 B 2.函数 f(x)=1-2sin2的最小正周期为( ) 2 A.2B.C.D.4 2 解析 f(x)=1-2sin2=cos x,于是最小正周期为 2. 2 答案 A 3.已知 ,cos =- ,则 tan等于( ) ( , 3
2、 2) 4 5 ( 4 - ) A.7B. 1 7 C.-D.-7 1 7 解析由已知得 tan = ,则 tan. 3 4 ( 4 - )= 1 - tan 1 + tan = 1 7 答案 B 4.函数 y=的定义域为( )cos - 3 2 A.- 6, 6 B.(kZ) - 6, + 6 C.(kZ) 2 - 6,2 + 6 D.R 解析cos x-0,得 cos x,2k- x2k+ ,kZ. 3 2 3 2 6 6 答案 C 5.若 ,且 3cos 2=sin,则 sin 2的值为( ) ( 2 , )( 4 - ) A.-B.C.-D. 1 18 1 18 17 18 17 18
3、 解析由 3cos 2=sin, ( 4 - ) 得 3(cos2-sin2)=(cos -sin ). 2 2 ,cos -sin 0, ( 2 , ) cos +sin =. 2 6 两边平方,得 1+2sin cos =, 1 18 sin 2=-.故选 C. 17 18 答案 C 6.函数 y=2sin(x0,)为增函数的区间是( ) ( 6 - 2 ) A.B.C.D. 0, 3 12, 7 12 3, 5 6 5 6 , 解析y=2sin=-2sin, ( 6 - 2 )( 2 - 6) 原函数的增区间就是 y=2sin的减区间,即 2k+ 2x- 2k+,kZ, ( 2 - 6)
4、 2 6 3 2 k+ xk+,kZ. 3 5 6 答案 C 7.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin+k.据此函数可知,这段 ( 6 + ) 时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5B.6C.8D.10 解析因为 sin-1,1,所以函数 y=3sin+k的最小值为 k-3,最大值为 k+3. ( 6 + ) ( 6 + ) 由题图可知函数最小值为 k-3=2,解得 k=5. 所以 y的最大值为 k+3=5+3=8,故选 C. 答案 C 8.函数 f(x)=sin2+cos2-1 是( ) ( + 4) ( - 4) A.周期为 的奇函数B.周期为
5、 的偶函数 C.周期为 2 的奇函数D.周期为 2 的偶函数 解析 f(x)=sin2+cos2-1=2sin2-1=-cos=sin 2x,所以周期 T=,且函 ( + 4) ( + 4 - 2) ( + 4) (2 + 2) 2 2 数是奇函数. 答案 A 9.将函数 y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( ) (2 + 5) 10 A.在区间上单调递增 - 4, 4 B.在区间上单调递减 - 4 ,0 C.在区间上单调递增 4, 2 D.在区间上单调递减 2 , 解析将函数 y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 y=sin 2 x- (2 +
6、5) 10 +=sin 2x,该函数在(kZ)上单调递增,在(kZ)上单调递减, 10 5 - 4 + , 4 + 4 + , 3 4 + 结合选项可知选 A. 答案 A 10.已知 A,B,C 是ABC的三个内角,且 tan A,tan B是方程 3x2-5x+1=0 的两个实数根,则ABC 是 ( ) A.钝角三角形B.锐角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 解析由一元二次方程根与系数的关系,得 tan + tan = 5 3, tantan = 1 3, tan(A+B)=. tan + tan 1 - tantan = 5 3 1 - 1 3 = 5 2 在ABC 中,tan C=t
7、an-(A+B) =-tan(A+B)=- 0,| ,若 x= 和 x=是函数 f(x)=cos(x+)的两个相邻的最值点,将 y=f(x)的图象向左 2 6 7 6 平移 个单位长度得到函数 y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( ) 6 A.y=g(x)是奇函数 B.y=g(x)的图象关于点对称 (- 2 ,0 ) C.y=g(x)的图象关于直线 x= 对称 2 D.y=g(x)的周期为 解析由已知得 T=2=2, ( 7 6 - 6) 所以 =1,于是 f(x)=cos(x+). 又因为 cos=1,则 +=k, ( 6 + ) 6 而| , 2 所以 =- , 6 即 f(x)=co
8、s,故 g(x)=cos x,显然其图象关于点对称. ( - 6) (- 2 ,0 ) 答案 B 12.已知 sin 2(+)=nsin 2,则=( ) tan( + + ) tan( - + ) A.B.C.D. - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 - 1 解析为方便,记 +=,则原式变为 sin(+)+(-)=nsin(+)+(-),展开得 sin(+)cos(- )+cos(+)sin(-)=nsin(+)cos(-)+ncos(+)sin(-),等式两边同除以 cos(-)cos(+)得 tan(+)+tan(-)=ntan(+)-ntan(-),于是. tan( + + ) ta
9、n( - + ) = + 1 - 1 答案 D 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分) 13.若函数 f(x)=xcos x+c是奇函数,则 f(-)= . 解析由已知得 f(0)=0,所以 c=0, 于是 f(x)=xcos x,故 f(-)=. 答案 14.函数 f(x)=4sin上的最小值等于 . (2 + 3)在 - 3, 6 解析当 x时,2x+, - 3, 6 3 - 3, 2 3 所以当 2x+ =- 时,sin取最小值-,原函数的最小值等于-2. 3 3 (2 + 3) 3 2 3 答案-2 3 15.化简= . 2tan(45 - ) 1 - tan2(45
10、 - ) sincos cos2 - sin2 解析原式=tan(90-2) 1 2sin2 cos2 = sin(90 - 2) cos(90 - 2) 1 2sin2 cos2 = cos2 sin2 sin2 2cos2 = . 1 2 答案 1 2 16.若函数 f(x)=2sin x+bcos x在 x= 处取得最大值,则 f(x)在上的最小值等于 . 3 3 0, 6 解析依题意有 f=2sin +bcos ,即 3+,解得 b=2,于是 f(x)=2sin ( 3) 3 3 3 =12 + 2 2 =12 + 2 3 x+2cos x=4sin,由于 x,所以 x+,故最小值等于
11、 4sin =2. ( + 6) 0, 6 6 6, 3 6 答案 2 三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)A,B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限,记AOB=, 且 sin = . 4 5 (1)求点 B 的坐标; (2)求的值. sin( + ) + 2sin( 2 - ) 2tan( - ) 解(1)设点 B坐标为(x,y),则 y=sin = . 4 5 因为点 B 在第二象限,x=cos =- , 3 5 所以点 B 坐标为. (- 3 5, 4 5) (2) sin(
12、+ ) + 2sin( 2 - ) 2tan( - ) =- . - sin + 2cos - 2tan = - 4 5- 6 5 8 3 3 4 18.(12分)已知函数 f(x)=2sincossin 2x. ( 4 - )( 4 - )+ 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间上的最值及相应的 x 值. 0, 2 解(1)f(x)=sinsin 2x=cos 2x+sin 2x ( 2 - 2 )+ 33 =2sin, (2 + 6) 所以 f(x)的最小正周期是 . (2)因为 0x ,所以 02x, 2 所以 2x+,当 x= 时,f(x)max=2;
13、 6 6 7 6 6 当 x= 时,f(x)min=-1. 2 19.(12分)已知 cos=-,sin,且 ,. ( - 2) 27 7 ( 2 - )= 1 2 ( 2 , )( 0, 2) 求:(1)cos; (2)tan(+). + 2 解(1),0 , 2 2 - ,- . 4 2 4 2 2 sin, ( - 2) = 1 - cos2( - 2)= 21 7 cos. ( 2 - )= 1 - sin2( 2 - )= 3 2 cos=cos + 2 ( - 2) -( 2 - ) =coscos+sinsin=-. ( - 2) ( 2 - )( - 2) ( 2 - )=(-
14、 27 7) 3 2 + 21 7 1 2 21 14 (2), 4 + 2 3 4 sin. + 2 =1 - cos2 + 2 = 57 14 tan=-. + 2 = sin + 2 cos + 2 53 3 tan(+)=. 2tan + 2 1 - tan2 + 2 = 53 11 20.(12分)已知函数 f(x)=sin+1. (2 + 4) (1)用“五点法”作出 f(x)在 x上的简图; - 8, 7 8 (2)写出 f(x)的对称中心以及单调递增区间; (3)求 f(x)的最大值以及取得最大值时 x 的集合. 解(1)对于函数 f(x)=sin+1,在 x上,2x+ 0,2
15、,列表: (2 + 4) - 8, 7 8 4 2x+ 40 2 3 2 2 x - 8 8 3 8 5 8 7 8 f(x)12 1 0 1 作图: (2)令 2x+ =k+ ,求得 x=, 4 2 2 + 8 可得函数的图象的对称中心为,kZ. ( 2 + 8 ,0 ) 令 2k- 2x+ 2k+ ,求得 k-xk+ , 2 4 2 3 8 8 可得函数的增区间为,kZ. - 3 8 , + 8 (3)令 2x+ =2k+ ,求得 x=k+ ,所以函数 f(x)的最大值为 2,此时,x=k+ ,kZ. 4 2 8 8 21.(12分)如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低
16、点与地面的距离为 0.8 m,60 s 转动一 圈,图中 OA与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 角到 OB,设点 B 与地面距离是 h. (1)求 h 与 间的函数关系式; (2)设从 OA开始转动,经过 t s 后到达 OB,求 h与 t 之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最 少时间是多少. 解(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 - ,故点 B 坐标为 2 . (4.8cos( - 2),4.8sin( - 2) h=5.6+4.8sin. ( - 2) (2)点 A 在圆上转动的角速度是,故 t s 转过的弧度数为. 30
17、 30 h=5.6+4.8sin,t0,+). ( 30 - 2) 到达最高点时,h=10.4 m. 由 sin=1,得t-, ( 30 - 2) 30 2 = 2 t=30 s. 缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 s. 22.(12分)已知函数 f(x)=4sincos x+. ( - 3) 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数 g(x)=f(x)-m 区间在上有两个不同的零点 x1,x2,求实数 m 的取值范围,并计算 tan(x1+x2) 0, 2 的值. 解(1)f(x)=4sincos x+ ( - 3) 3 =4cos x+=2sin xcos
18、 x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x ( 1 2sin - 3 2 cos) 3333 =2sin. ( 2 - 3) 函数 f(x)的周期为 T=. 由 2k- 2x- 2k+ , 2 3 2 得 k-xk+(kZ). 12 5 12 f(x)的递增区间为(kZ). - 12, + 5 12 (2)方程 g(x)=f(x)-m=0同解于 f(x)=m,在直角坐标系中画出函数 y=f(x)=2sin上 ( 2 - 3)在 0, 2 的图象,由图象可知,当且仅当 m,2)时,方程 f(x)=m 有两个不同的解 x1,x2, 3 且 x1+x2=2, 5 12 = 5 6 故 tan(x1+x2)=tan =-tan =-. 5 6 6 3 3