不确定性桁架结构区间有限元分析的区间因子法.pdf

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1、第 2 1 卷第 6 期 2 0 0 5 年 1 2 月 机械设计与研究 M a c h i n e De s ig n a n d R e s e a r c h V o l . 2 1 N o . 6 D e c . . 2 0 0 5 文章编号: 1 0 0 6 -2 3 4 3 ( 2 0 0 5 ) 0 6 -0 0 6 -0 4 1% A 角 充 性 衍 闷 降 幽 含 构 区 间 刁 1 阳公毛么 夕 析 的 区 间 因日予食 势 马娟， 陈建军， 张建国， ( 西安电子科技大学机电工程学院， 西安7 1 0 0 7 1 , 江涛 E - ma i l : j j c h e n

2、 x id i a n . e d u . e n ) 摘要: 利用区间因子表征区间变量的不确定性， 将区间变量表示为其均值和区间因子的乘积; 根据区间运算 规则， 将区间分析与有限元方法相结合， 提出了非概率不确定的结构的一种区间有限元分析的方法。构建了区间 参数杆系结构在区间荷载作用下的分析模型， 导出了结构的区间位移和区间反力响应区间变量表达式。通过算例 考察了任一结构参数和荷载的不确定性对位移和应力的影响， 获得了一些有意义的结论口 关键词: 区间析架结构; 区间因子法: 区间运算; 静力区间有限元 中图分类号: 03 2 4文献标识码: A I n t e r v a l F a c

3、 t o r Me t h o d a n d S t a t i c I n t e r v a l F i n i t e E l e me n t Me t h o d MA J u a n , C HE N J i a n - j u n , Z H AN G J i a n - g u o , J I A N G T a o ( S c h o o l o f E l e c t rome c h a n i c a l E n g in e e r i n g , X id ia n Un iv e r s it y , Xi a n , 7 1 0 0 7 1 ) A b s t

4、 r a c t ; U n c e r t a in t i e s o f t h e in t e r v a l v a r ia b l e s a r e r e p r e s e n t e d b y i n t e r v a l f a c to r s a n d i n t e r v a l v a r i a b le s a r e d e s c r i b e d a s m e a n v a l u e s mu l t ip l i e d b y i n t e r v a l f a c t o r s . F r o m in t e r v a

5、 l a r i t h m e t i c , a n a n a ly t i c a l m e t h o d o f i n t e r v a l f in it e e le me n t o f u n c e r t a i n s t r u c t u r e is p r e s e n t e d b y c o mb in i n g i n t e r v a l a n a ly s is w i t h t h e f i n it e e le me n t me th o d . T h e f i n it e e l e m e n t a n a l

6、y s is o f t r u s s s y s t e m wi th i n t e r v a l p a ra me t e r s u n d e r i n t e r v a l lo a d i s s tu d ie d a n d t h e s t r u c t u r a l in t e r v a l d is p la c e me n t a n d s t r e s s r e s p o n s e a r e d e d u c e d . Th e e f f e c t s o f a n y o n e o f u n c e r tain

7、s t r u c t u r a l p a r a me t e r s o r l o a d o n t h e d is p la c e me n t a n d s t r e s s a r e e x a mi n e d b y e x a mp l e s a n d s o me s ig n if i c a n t c o n c l u s i o n s a r e o b t a i n e d . K e y w o r d s : i n t e r v a l j r u s s s t r u c t u r e ; i n t e r v a l f

8、 a c t o r m e t h o d ; i n t e r v a l a r i t h me t i c ; s t a t ic i n t e r v a l f i n it e e le m e n t 在实际结构工程中， 由于大量不确定因素的存在， 如: 设 计误差、 制造误差、 装配误差等， 使得几乎所有问题均在不同 程度上存在着不确定性。描述参数不确定性有区间参数、 模 糊参数和随机参数三种形式， 相应的分析方法分别为: 区间 分析、 模糊理论或是概率方法。在区间分析中， 不确定参数 山一个取值范围来表示; 除了取值范围之外， 如果还用一个 隶属度函数来描述使用该范

9、围内不同值的希求性， 则属于模 糊理论: 若不确定参数被描述为服从某种概率分布的随机变 量， 则属于概率的方法。 迄今， 有关随机参数和模糊参数结构的分析间题已有不 少研究文献 卜 习 。关于区间参数结构的有限元分析， B e n - H a i m和E ls h a k o f fl 1 等提出了 一种非概率的凸集模型或反 优化模型， 它将不确定参量视为有界时， 将其包含在一凸集 合巾， 通过集合运算和优化设计， 求解结构响应所在范围。 类似的思想被一些学者用于不确定结构的区间分析中s - s7 当结构的不确定参数可用区间限界时， 将区间模型和传统的 有限元方法相结合， 建立起区间有限元方法

10、。文 z7 基于上 述思想将区间有限元静力控制方程中n个自由度不确定位 移特征参数的求解归结为求解一2 左阶线性方程组 现有的关于结构区间分析的主要方法， 或是基于枚举法 的思想， 或是转化为高阶方程组求解， 或是借助于优化搜索 来实现， 其方法过程中结构分析次数多、 计算工作量大是毋 需质疑的。因此本文在区间参数结构有限元分析中另劈蹊 径， 提出了基于区间因子的有限元求解方法。将所有区间变 量分解为区间均值与区间因子两部分之积， 以区间均值代人 有限元方程中求得区间响应主值， 再通过总区间因子将其不 确定性还原传递回响应物理量。该方法的求解过程简单， 只 需一次结构分析即可获得位移和应力区间

11、响应的结果 收稿 日 期 基 金 项 目 2 0 0 5 - 0 2 - 0 4 陕 西省 自 然科 学基 金资助 项 目( 2 0 0 2 A 1 4 ) 1 区间 变量的区间因子 表示 设结构的不确定参数量M在某区间内变化， 其上、 下限 分别为M , M ， 则称 MEM =( M , N F) 为区间变量。令: M =( M +N I ) / 2 , 其中: M 为区间数的算术平均值， 即为 M 或M均值 现引人区间变量因子 Y -M/ M ， 可知 Y E ( M / M , N r / M ) ， 如此原区间变量M可被表为: M=， 吧入 ， 其中 Y的均值 为1 ， 取值范围M/

12、M,“/MI。可见, Y 的取值范W l 同样 描述了区间变量M 的不确定分散性。显然， 对任意已知上 下限的区间变量而言， 均可求出其相应的区间因子 2 具有区间 参数的 结构位移 分析 设结构中具有r 个杆件。对第 个单元， E , j, ) 和 入 分别为 e 单元的弹性模量、 杆长和截面积区间变量。令 弹 性模量 瓦 -E“ 公 ， 其中， E为弹性模量的区间因子， 其均 第 6期 马娟等: 不确定性析架结构区间有限元分析的区间因子法 值为 1 ， 取值 范围为 E 1 E E “ , 二 E a 一 令 大小。显然， 响应各分量的不确定分散性是相同的， 均由勿 $ E to / E

13、“ ; E i o , E ,) 和 旦为 区 间 变 量 均 值 、 上 限 和 下 限 。 令 1 l “ = t “ 1 i , ， 其中t 为杆长度的区间变量因子， 其均值 为 ， 取 值 范 围 为 C l 一 告 r郭 / li e ) , l“ 一 告 lY 1 i .1 p 1 4 1 , 4 , 和 l ., ) 为。 杆件长度区间变量的均值、 下限和 t 限。令 A ) =A“ Ap 其中A为杆件截面积区间因子， 其 区 间 均 值 为 ， ，取 值 范 围 为 ， 一 I “ E A io /A i. ,A “r . 一 令 . 全忽) 态) ; 态) 、 A 孔 、 和

14、A 是e 杆 件的 区 间 均值 、 上 限 和下限 显然， 双A和1 的取值的不确定性将导致结构刚度矩阵 A 的不确定ft。利用有限单元法， 结构的总刚度矩阵 K 为 决定之 当区间因子 t , A, E, p均取其各自均值时， 即得总区间 因子 田之均值， 显然 。均值为1 ， 由区间运算规则( m 可得 。 的取值范围为: (u =( l - 尸) / ( EA ) =( 1 “ p “ ) / ( E A ) 将所有区间变量的均值视为确定性结构参数的取值， 其 不确定性由其区间因子来表示， 则 8 件 即为各区间变量取 其各自的均值时确定性结构的在确定性荷载下的结构位移 响应， 它可通

15、过通常的结构分析程序获得。最后将总区间因 子 。代人式( 4 ) ， 可求出结构位移应力响应所在区间的上、 下 限 K = e C , E T e T 1 , e ) , A , ,) c CT , E A ) “ E 7e, E e)A ,e)c Te EA ) “ t “- 一 E A )K ,1 ( 1 ) 其中 C 为常量矩阵: K n =g , -1 , g , z -A , ; 一一1 ， 其余元 素为零; 了 几 卫 为 。 单元的坐标转换矩阵; K口 ”， 州 z 均为常 量矩阵， 分别为总体坐标系下当E=E、 且把弹性模量、 截面 积和长度区间因子提出后召单元的刚度矩阵和结构

16、的总刚 度矩阵 将作用于结构的载荷 向量 P =( 尸, P z , . 氏 的幅 3 具有区间 参数结构的 应力分析 位移响应求得后， 由有限元法中单元结点位移和单元应 力之关系， 任一单元 的响应可示为: 。 ， -E.阳f 8 一( . E) ( E 压 B 7l80 F ” 一， ( 砂， ) ( e =1 , 2 . . . . . ) ( 5 ) 其中 a, . , 为* 单元的结点位移响应向量; B 为 。 单元几 何矩阵. 为定常矩阵; ，为应力响应区间因子， 由区间运算可 知其取值范围为仁 。 一E “ . , a 0 0E “m “ ; a “ 为确定性应 力 响 应 分

17、-八必-肠 值亦视为区 间变量， 且其中每一分量丸相对于各自区间均 值偏差的比例均相同。令 P ) 为区间载荷的均值向量， 则 有: P ; =D 只， 即: P =h 笼 尸( 2 ) 其中A 为荷载向量区间因 子， 其均值为1 , 取值范围为仁 尸= 奈.蓦 P ! / P ,. P “m . ,一 m 1 “ i P “ / 1;,- , ， 其 中 。 、 。 和 P 是 第 * 个荷载幅值的区间均值、 上限和下限。 对于承受区间载荷的区间参数结构， 其区间有限元方程 可表为: K 8 1 = P ( 3 ) 其中 8 i 为总体坐标系下结构的区间位移响应向量 将式( 1 ) 和( 2

18、 ) 代人式( 3 ) ， 从中解得结构的区间位移响 应 向量 为 : 4 算例 例 1 图 1所示 s 杆朽架结 构， 其参数为: 弹性模量E=2 . 1 X 1 0 “ P a ; 1 , = 1 . O m ; l 一4 号杆 的 横 截面积为A , =1 . 0 X 1 0“ 耐( i =1 - - 4 ) , 5 , 6号杆的横截面积为一区 间A =仁 1 . 0 X1 0 - , 1 . 1 X1 0 - , 口 ( m ) 。 作用荷载向量为F = P , 2 P , 2 . 5 P， 一1 . 5 P ， 其中 PJ = 图 1 6杆 平而析架 2 0 , 2 1 ( k iN

19、) 结构各区间变量因子列于表 1 ; 表 2为本文 方法、 摄动法 ， 及文 1 2 方法对千结构位移区间响应的 计算 结果.从中可见， 本文方法所得的结果与区间摄动法的结 果叫和通过求解区间有限元静力控制方程转化后的 2 。阶线 性方程组所求得的结果 , z 7 基本上是一致的。 8 一 共 . Y . ( W ) 一 . P 1( 4 J EA 令: L S ? 一( 尺 ”)。 P “ , . =( lP ) l ( E A) ， 则上式可表 为: ( 8 =m 8 “， 其中: ( 8 为 S 的区间均值向量， 即不 考虑各种参数及荷载的不确定性时的位移响应值卿 为 S 的总区间因子，

20、 其取值范围将决定位移响应的不确定分散性 例 2图 2示四杆空 间析架结构， 其中所有 结构参数 y均为区问 变量 弹性模量E-厂 6 ， 9 1 7 . 1 二1 0 “ P a ; 各杆 长度最可能 的取值如 图所示: L) -C i l )( 1 -0 . ll, l ( 1 +0 . W ; 四杆截面积区间变量 A , , A 2 , A s , A 分别为: 雌 位 :1 0 3 币 图 2 空问 a 杆不确定R T V结构 机械设计与研究 第 21卷 6 . 0 ， 6 . 2 口 ， 1 6 . 7 ， 1 6 . 9 ， 7 . 0 ， 7 . 2 ， 【 8 . 6 ， 8

21、. 8 c l ll 卫 ; 荷载工 况为: 区间荷载作用子节点 1 上， 荷载均值向量为 澳 ， 几， ， 只二 = 1 0 K， Z O K， 一6 O k j 了 N， 其区间为仁 P一0 . 0 2 P， P+0 . 0 2 P 按上述方法， 解得各区间因子A、 2 、 E、 尸和响应区间因 子。及结构的响应: 2向位移占 、 最大应力 。的区间均值、 上 限和下限， 见表 3 为 了比较结构参数区间变量及荷载区间变量的不确定 性对结构响应的影响， 结构分析计算采用了工H六种模型 ( 在前五种模型中各区间变量的不确定分散性均取为相同) ， 相应的! 蹲 结果见表4 。此外， 表 4 还

22、给出了结构参数及外 载荷对结构响应的影响 模型V与U) 。由表4的结果易见: (l) 当结构物理参数与几何参数分别为区间变量且它 们的不确定分散性相同时， 几何参数的不确定性对结构响应 的影响更为显著。 ( 助 当结构参数与荷载分别为区间变 量且 其不确定分 散性相同时， 结构参数的不确定性对结构响应的影响较大; 当它们同时为区间变量时， 其不确定性对结构的影响更为显 著; 此外， 结构参数和荷载区间变量的不确定性的改变对结 构响应的影响较大 表 1 6 杆平面 析架 结构各 区间因 子的计 算结果 区 间变量AlEP叮 下限 0 _ 9 8 41l0 . 9 7 6 0 9 6 0 60 .

23、 9 6 0 6 上限 1 。 0 1 6ll1 . 0 2 41 . 0 4 0 71 . 0 吸 0 7 表 2 6 杆平 面析架结 构位移 区 间分析结 果的 比 较 区 间响应量 区 间摄动法 田文 1 2 方法 本 文方法 U侧以“ “澎 以 之 J 0 t 8 6 0 . 6 91 . 0 3 0 8 7 7 8 。 . 7 3 5 5 ， 1 . 0 2 2 1 0 . 8 8 4 0仁 0 . 7 4 0 2 ， 1 . 0 2 7 8 “2 ， 0 . 3 3 0 . 2 6 ， 04 0 0 . 3 3 改 5 0 . 2 7 8 2 ， 0 . 3 9 0 8 0 . 3

24、 2 8 2 0 . 2 7 0 今 ， 0 . 3 5 6 0 况3 沈0 . 9 0 0 7 3 ， 10 7 0 . 9 1 4 8 0 . 7 7 3 0 ， 1 . 0 5 6 6 0 t 9 2 1 7 。 . 8 0 5 1 . 1 . 0 3 8 3 “ 3 ， 一已 3 1 一0 . 3 8 ， 一0 . 2 4 一 0 3 1 7 1一 0 . 3 6 2 3 ， 一0 . 2 7 1 9一 0 . 3 1 1 8 一 以3 3 4 4 ， 一 。 ， 2 8 9 2 表 3 四杆 平面行 架区 间有限元 计算结 果 区 问变量 Al石P 占 ( 。n )口 ( M巧 )

25、均 值 lll 11一 1 0 91 6 5 . 5 下限 0 . 9 8 40 9 9 70 . 9 4 20 . 9 三 90 9 0 5一 0 9 8 61 3 9 3 卜 限1 0 61 . 0 0 31 . 0 5 7 1 . 0 4 01 1 0 6一 1 . 2 0 61 9 1 4 表 4 四杆 空 间析架结构 区 间有限元 分析结 果 模型 最 大位 移响应 氏 以( mm 及区 问因子 占最大 应力响 应 ” 了 ( MI 的及 区问因子 模 型 工 万 = ( 10 . 9 5 ， 1 . 0 5 ) 吞 1 =几=P ( 11 ， 1 ) 漏一 ( 一 1 ， 。 。

26、3 一 、 1 、 ， ， 一 1 . 。 3 : ) 1 咨 =( 1 ， 0 . 9 二 2 ， 1 . 0 5 3 ) 1。 一 、 、 。 ; .、 ， 、 : .。 。 ， 。 。 、 。 ) 口 = ( 1 ， 0 . 9 0 4 ， 1 . 1 0 6 ) 摸型 n E =P = ( 1 ， 1 ) ; A = 1 = ( 1 ， 0 . 9 5 ， 1 . 0 5 ) 蕊 砂= ( 一 1 ， 0 9 5 ， 一12 0 4 ， 一0 . 9 8 G ) 占= ( 1 ， 0 9 0 5， 1 .1 0 5 ) 民 尼 =( 1 6 4 . 4 2 ， 1 4 8 . 0 6

27、， 8 0 . 7 8 ) 口 = ( 1 ， 0 . 9 0 5 ， 1 1 0 5 ) 模型 皿 E 令 1 =A ( 1 ， 1 ， 1 ) ; P =( 10 . 9 5 . 1 . 0 5 ) 民 =( 一10 9 1 ， 一 1 . 1 4 5 ， 一1 . 0 3 6 ) 古 二 ( 1 ， 0 . 9 5 ， 1 . 0 5 ) 口 四 =( 1 6 3 . 6 1 5 5 . 4 2 ， 1 7 1 ， 7 8 ) 口二 ( 1 ， 09 5 ， 1 0 5 ) 模 型 Jl 万 = 1 =A = ( 1 . 0 . 9 5 . 1 . 0 5 ) 节 P =( 1 ， 1

28、， 1 ) 侃 以 =( 一1 1 0 4 ， 一 1 . 2 6 8 ， 一0 . 9 4 0 ) 占 一( 1 ， 0 ， 8 6 2 ， 1 ， 1 6 3 ) 口 滩 “= ( 1 6 6 8 7 ， 1 3 3 . 9 7 ， 1 9 9 . 7 8 ) 口( 1 ， 0 . 8 1 9 ， 1 _ 2 2 1 ) 模 型 V E= 1 = A=P =( 1 ， 09 5 ， 10 5 ) 乙 甩 牛( 一1 工 1 3 ， 一 1 . 3 3 2 ， 一1 . 8 9 3 ) 咨 =( 1 ， 0 . 8 1 9 ， 1 . 2 2 2 ) 口 示 山牛( 1 6 8 . 6 1

29、， 1 2 了 . 2 9 2 0 9 . 9 2 ) a = 1 ， 0 t 7 7 8 ， 1 . 2 8 3 ) 模 型班 厂 = 1 = A=P 毕 ( 1 ， 0 . 9 9 5 ， 1 . 0 0 5 ) 茂 毋 =( 一1 . 0 9 0 ， 一 1 . 1 1 2 ， 一1 . 0 6 8 ) 占 = ( 1 ，0 9 8 0 ， 1 ， 0 2 0 ) 。 h 幻 了 = ( 1 6 3 . 6 1 ， 1 5 9 t 5 3 ， 1 6 77 0 ) 口 = ( ， 0 . 9 7 5 ， 1 . 0 2 5 ) 第 6 期 马娟等: 不确定性彬架结构r间有限元分析的区间因

30、子法 J 结论 文中对区间参数结构的有限元分析提出了区间因子的 求解方法.该方法的突出优点是 : 求解过程非常简单， 只需 一次结构分析即可获得区间响应结果; 且可用于同一结构的 材料不同及部分或全部参数为区间变量的情况; 便于考察结 构中任一参数或荷载的不确定性对结构响应的影响 参考文献: 二 I J J . C h e n , . W. C h e , H . A , S u n , H B Ma 2 3 1 - 2 3 9 . 2 , . S . S . R a n $ . J a m e s P S a w y e r . F u z z y fi n it e e l e me n

31、t a p p r o a c h f o e t h e a n a l y s is o f im p r e c i se ly d e f in e d s y s t e m s J . A I A A J o u m1 , 1 9 9 5 , 3 3 ( 1 2 ) ; 2 3 6 4 - - 2 3 7 0 . 3 W. G a o , J . J C h e n . D y n a m ic r e s p o n s e a n a ly s i s o f c lo s e d l o o p c o n t r o l s y s t e m fo r in t e l

32、li g e n t tr u s s s t r u c t u re s b a s e d o n p r o b a - b il it y J . S t r u c h u n a l E n g in e e r in g a n d Me c h a n ic s , 2 0 0 3 , 1 5 ( 2 ) : 2 3 9 - - 2 4 9 . 4 1 E h s h a k o ff I . E s s a y o n u n c e rt a in t ie s in e l a s ti c a n d v i s e c e i s a t ic 厂 5 ! s t

33、r u c t u r e s : fr o m A M F r e u d e n t h a l s c ri t ic i s m s t o m o d e r n c o n - v e x m o d e li n g J . C o m p u t e r s 7 2 7 - - 川叫 8 R a n S S , B a r k , I ,. A n a ly s i s o f u n c e r t a i n s t r u c t u ra l s y s t e m u - s i n g in t e r v a l a n a ly s is J . A I A A

34、 J o u r n a l , 1 9 9 7 , 3 5 ( 4 ) : 7 2 7 一 7 3 5 . 9 郭书祥， 吕震宙， 区间运算和静力区间有限元 J 应用数学和 力学 , 2 0 0 1 , 2 2 ( 1 2 ) ; 1 2 4 9 - - 1 2 5 4 . 厂 1 0 口 G . A l e f e l d乙nC l a u d io . T h e b a s ic p r o p e r t i e s o f i n te r v a l a r i t h me t ic , i ts s o f t w a r e . r e a l iz a ti o n s

35、a n d s o m e a p p li c a t i o n s J . C o mp u t e r s 国内 统一刊号C N 4 1 -1 1 5 0 / T H) ， 原由国家电力公司主 管 ， 现由中国华山集团公司主管， 国电郑州机械设计 研究所主办， 主 要面向电力系 统的管理部门、 电力( 水 电) 设计院、 水利和电力工程施下 单位、 电 力设备制造 厂、 火力发电厂、 水电站及系统外机械行业和相关高 等院校。 本刊双月 1 5日出版， 全国各地邮局征订， 也可直 接向编辑部征订。欢迎订阅， 欢迎投稿， 欢迎刊登广 告， 欢迎上网浏览( 中国水利电力机械网c h i - n a wp m. c n ) , 邮发代号: 3 6 -2 5 4 , 国内定价: 1 0 元/ 期( 2 0 0 6年 始) , 6 0 元/ 年 地址: 郑州市陇海中路 5 7 号 邮编: 4 5 0 0 5 2 电话 : 0 3 7 1 - 6 7 4 2 3 7 0 6 传真: 0 3 7 1 -6 7 4 2 3 7 0 9 电子信箱: 5 7 4 2 3 7 0 6 p u h li c 2 . z z . h a . c n 网 址: h t t p : / / w w w . c h i n a w p m: e n