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1、汽车起重机起升传动装置的优化设计 方世杰 （烟台大学 机械系， 山东 烟台264005） 摘要： 采用二次扩展内罚函数法， 对汽车起重机起升传动装置进行优化设计， 实现了使该装置体积减小， 成本降 低， 同时满足工作要求的目标。 关键词： 起重机； 齿轮机构； 优化设计 中图分类号： TH215文献标识码： A 文章编号： 1007 - 9483 （2001） 04 - 0011 - 02 The Optimal Design of the Gearing of the Crab Derrick FANG Shi- jie （Yantai University，Shandong Yantai
2、264005， China） Abstract： The optimal design of the gearing of the crab derrick is made by the means of the internal punished function，which ex- pands constraint condition in the second order. The method can reduce the size and the cost of the gearing. Key words： Crab Derrick；Gear Mechanism；Optimal D
3、esign 汽车起重机在许多生产领域中起着举足轻重的作用， 且应用广泛， 因而对其性能、 成本、 重量等问题的要求较高。 起升传动装置是汽车起重机的重要组成部分， 其传动装置 简图如图 1 所示。 a1为第一级中心轮； a2为第二级中心轮； b1为第一级内齿圈； b2为第二级内齿圈； c1为第一级行星轮； c2为第二级行星轮； H1为第一级行星架； H2为第二级行星架 图 1 起升传动装置简图 在此结构中， 高速油马达带动第一行星排的中心轮 a1 转动， 系杆 H1与第二排行星排的中心轮 a2连成一体， 内齿 圈 b 1与第二行星排的内齿圈 b2连成一体， 带动卷筒转动， 第二行星排 H2构件
4、固定。第一行星排属 2K - H 型差动机 构， 第二行星排属定轴轮系， 构成具有一个自由度的封闭传 动。 1优化设计的数学模型 本设计以行星排体积最小为目标函数 1 ， 即 minf （x）= f （x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5）= b （ra- ha） 2 + nw （r ac- ha） 2 （1） 式中： 设计变量 x1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5分别为中心轮齿数 za； 齿 宽 b ；nw为行星轮个数；ra为中心轮齿顶圆半径， mm；rac 为行星轮齿顶圆半径， mm； ha为齿顶高， mm。 主要约束函 数如下。 （1） 接触强度条件 g
5、（x）=HSHmin/HP- 10 （2） （2） 弯曲强度条件 g（x）=FSFmin/FP- 10 （3） 式中： H，F分别为接触和弯曲应力， MPa；HP，FP分别 为接触和弯曲的许用应力， MPa；SHmin ，S Fmin分别为接触、 弯曲强度的最小安全系数。 （3） 相邻条件 g（x）= （z c+ 2h*a） / （za + z c） sin （/ nw） - 1 0 （4） 式中：zc为内齿圈的齿数；h*a 为齿顶高系数。 （4） 行星轮壁厚条件 g（x）= BH1min/ BH1- 10 （5） 式中：BH1min为允许的最小行星轮壁厚， mm；BH1 为行星 轮壁厚， m
6、m。 （5） 内齿圈外径限制 g（x）= dab/ dabmax- 10 （6） 式中：dabmax为内齿圈允许最大外径， mm。 （6） 卷筒名义直径限制 g（x）= Ked- （ z b + 80） 0 （7） 式中：Ked为卷筒的名义直径， mm；zb为行星轮的齿数。 （7） 不产生过渡曲线干涉的约束条件 外啮合 （滚刀加工） 不产生过渡曲线干涉的约束： g（x）= zcsin2tan- tan1+ za/ zc（tana- tan1 ） / 4 （h* a - xc） - 10 （8） g（x）= zasin2tan- tan1+ zc/ za（tana- tan1 ） / 4 （h*
7、 a - xa） - 10 （9） 行星轮用滚刀加工时， 内齿轮齿顶与行星轮齿根不发 生过渡曲线干涉的约束 g（x）= z ctan- zbtanbc+ （ z b- zc） tan2 sin2/ 4 （h* a - xc） - 10 （10） 收稿日期： 2001 - 04 - 09； 修订日期： 2001 - 05 - 14 作者简介： 方世杰 （1953 - ） ， 男， 辽宁沈阳人， 烟台大学副教授， 主要从事机械设计及理论的教学与研究工作。 11 设计与研究 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
8、 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 方世杰汽车起重机起升传动装置的优化设计 式中： 1，2分别为外、 内啮合的啮合角；a，bc分别为中 心轮和内齿圈的齿顶圆压力角。 （8） 重合度约束条件 外啮合端面重合度： g（x）= 1min/1- 10 （11） 内啮合端面重合度： g（x）= 2min/2- 10 （12） 式中： 1，2分别为外啮合和内啮合的重合度；1min，2min 分别为外、 内啮合允许的最小重合度。 （9） 根切约束条件 中心轮不根切约束： g（x）= h * a - zasin2（/2） / x
9、a- 1 0 （13） 行星轮不根切约束： g（x）= h * a - zcsin2（/2） / xc- 1 0 （14） （10） 啮合角约束条件 外啮合啮合角的约束： g（x）=1min/1- 10 （15） g（x）=1/1max- 10 （16） 内啮合啮合角的约束： g（x）=2min/2- 10 （17） g（x）=2/2max- 10 （18） 式中： 1min，2min分别为外、 内啮合允许的最小啮合角； 1max，2max分别为外、 内啮合允许的最大啮合角。 2优化方法的选择 本设计采用二次扩展内罚函数法， 克服了初始点必须 是可行点和转换点二阶导数不连续的缺点， 其收敛速度
10、快， 方法可靠。函数表达式： 2 P （x， rk）= f（x）+ rk m i = 1 zi（x）（19） 其中： zi（x）= 1/ g i （x）（gi（x）g0） 1/ g 0 （gi （x） / g 0） 2 - 3 （ gi （x） / g 0） + 3 （gi（x） g0 ） （20） 式 （19） 惩罚函数 P （x， rk） 在 x （k）点的二阶导数 2P /x jxL = 2 f / xjxL+ rk L i = 1 2z /x jxL（21） 前一项为目标函数对变量的二阶偏导数， 后一项是惩罚项 对变量的二阶偏导数。将式 （19） 二次惩罚函数代入得 zi/xjxL=
11、g-3 i2 （ g i/xj） （ g i/xL） - gi 2gi/x jxL（gig0） g-3 02 （ g x/xj） （ g i/xL）+ g0 （2g i / g 0 - 3） 2gi/x jxL（gi g0） （22 ） 式 （22） 可以看到因子g-3 i 和g-3 0 使得惩罚项的二阶偏导数 的主要贡献者来自接近临界的那些约束 （即gi很小的约 束） 。于是， 二阶偏导数可以近似地表示如下： 2zi/x jxL = g-3 i2 （ g i/xj） （ g i/xL） （gig0） g-3 02 （ g i/xj） （ g i/xL） （gi g0 ） （23） 这个近似式
12、只需用到约束条件的一阶偏导数。因此， 采用 牛顿法沿方向 S = H -1P 进行一维搜索， 以确定步长， 常 用 0.618 法。关于转折点g0和惩罚因子 rk的递减规律： 惩罚因子 rk的下降规律常取 rk+1=（0.1 0.3） rk。 g0点是倒数惩罚形式与二次惩罚形式的分界点。 当g0 比较合理时， 使得 P （x， rk） 的极小点落在可行域内， 而且比 较靠近边界。 关于g0的确定可以参考文献 3 ， 文献给出 g0= crP1/3P1/2 式中：c 为常数， r 为惩罚因子。 根据计算经验， 通常取初始 值g0= 0.002。 根据优化过程要求， 对有关的变位系数的分配、 传动
13、比 分配、 参数圆整等编制了各自的子程序。 需要指出的是， 在设计变量中， 齿数 za为整型量， 模数 m 为离散变量， 其它变量是连续变量。在设计中， 将整型 量和离散变量视为连续变量处理， 运算结束后再进行圆整。 3优化结果及分析 现以 QY160 型汽车起重机起升传动装置优化设计为 例。初始条件： 最大起重量 160kN； 起升速度 7.8 13.8 m/s； 马达输出功率 58kW； 系统压力 P = 240MPa； 卷绳层数 为 4； 缠绕在卷筒上钢丝绳总长 110m。 两级行星传动设计参数的优化结果见表 1。 表 1 优化结果对照 名称符号 第一级行星传动 原设计优化设计 第二级行
14、星传动 原设计优化设计 太阳轮齿数za20172019 行星轮齿数zc43362828 太阳轮齿 顶圆直径 da57.1549.713 880.2976.149 7 行星轮齿 顶圆直径 dac112.397.526 7108.43100.64 模数m2.52.53.53.5 齿宽b25243534 体积V650 862521 809.91 009 365.5 932 399.3 体积减小率19.828%7.625 2% 总体积减少百分率： E = V1常规+ V2常规- （ V 1优化+ V2优化） V1常规+ V2常规 100% = 650 862 + 1 009 365.5 -（521 8
15、09.9 + 932 399.3） 650 862 + 1 009 365.5 100% = 12.4% 从结果比较来看， 优化设计起到了减小体积， 降低重 量， 从而也降低成本的作用， 而在其性能上仍然满足所需功 能要求。 参考文献： 1 陈立周 . 机械优化设计 M . 上海： 上海科学技术出版社， 1982. 2 江允正 . 最优化方法及实用程序 M . 哈尔滨： 哈尔滨工业 大学出版社， 1997. 3 万耀青， 梁庚荣， 陈志强 . 最优化计算方法常用程序汇编 M .北京： 中国工人出版社， 1983. 212001 年 7 月机械设计与制造工程第 30 卷 第 4 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 期