控制工程基础.pdf

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1、控制控制工程工程基基础础控制基控制基 (第六章 ）(第六章 ） 2009年春季学期年春季学期009年春季学期年春季学期 6 Control System Error Analysis and CalculationAnalysis and Calculation 6.1 Concept of the Steady-State Error6.1 Concept of the Steady State Error 6.2 Steady-State Errors caused by the Inputs 6 3 Steady State Errors caused by6.3 Steady-Stat

2、e Errors caused by Disturbances 6.4 Approaches to Reducing System ErrorSystem Error 6.5 Dynamic Error Coefficients6.5 Dynamic Error Coefficients 6.1 Concept of the Steady- State ErrorState Error ( )s ( ) OI Xs( )E s ( )N s ( ) 1 G s( ) 2 Gs ( )s( ) O Xs ( ) I Xs ( )Y s ( )H s ( ) ( )( )( ) 12O XsG s

3、 Gs( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 12 12 1 O I XsG s Gs XsG s Gs H s = + ( )( )( ) 12 1G s Gs H s 当当 ( ) ( )( ) ( ) 1 O Xs X s H = ( )( ) ( ) I XsH s ( )( )( )( )sXsXs H s=( )( )( )( ) IO sXsXs H s= ( )( ) ( )( )E sXssXs=( ) ( )s E s =( )( ) ( )( ) IO E sXssXs= ( ) ( ) E s H s = 6.2 Steady-State Errors cau

4、sed by the Inputs 偏差传递函数偏差传递函数( )s( )Xs( )Xs caused by the Inputs 偏差传递函数偏差传递函数 ( ) ( )G s ( )s( ) O Xs( ) I Xs ( ) ( )( )( ) 1 1 I s XsG s H s = + ( )H s ( )( )( ) I ( )( ) 1 limlimtsXs=( ) ( )( ) ( ) 0 limlim 1 ssI ts tsXs G s H s = + 由由( ) ( ) ( ) s E s = 若若H是常值是常值 ss e = ( ) ( )H s 若若H是常值是常值 ss e

5、 H = 例例：求当求当 xi(t)=1(t) 时的稳态误差时的稳态误差 10 ( )s( ) O Xs( ) I Xs 例例：求当求当 xi(t)(t) 时的稳态误差时的稳态误差 s ( )( ) ( )( )( ) 1 1 I s XsG s H s = + 1 10 10 1 s s = + + ( )( )( ) I 1 s + ( ) 1 I Xs = 0 1 lim0 10 ssss s es= ( ) I s 0 10 ssss s ss + 物理意义物理意义 单位反馈系统单位反馈系统 ( )G s ( )s( ) O Xs( ) I Xs ( )G s ( )s( ) O Xs

6、( ) I Xs ( ) ( )H s ( ) ( ) 系统的“系统的“型型次 ”次 ”( ) ()() ()() 12 11 11 Kss G s TT + = L L ( ) ()() 12 11sT sT s +L 0v “0型系统型系统” 0 1 v v = = 0型系统型系统 “I型系统”型系统” 2v =“II型系统”型系统” 对对单位阶跃输入单位阶跃输入稳态误差为稳态误差为对对单位阶跃输入单位阶跃输入，稳态误差为稳态误差为 111 limse ( )( )011 lim 0 GssG se s ss + = + = 静态位置误差系数静态位置误差系数的定义：的定义： ( )( )

7、0 lim0 p s KG sG = 1 1 ss e K = + 则则 1 p K+ ( ) ()() 12 11Kss G +L 对对0型系统型系统 ( ) ()() ()() 12 12 11 Gs T sT s = +L 对对0型系统型系统 ()()11KL()() ()() 12 0 12 11 lim 11 p s K t st s K T sT s K + = + L L()() 12 0型系统静态位置误差系数型系统静态位置误差系数 即系统的开环静态放大倍数即系统的开环静态放大倍数K 对于对于型或高于型或高于型的系统型的系统 即系统的开环静态放大倍数即系统的开环静态放大倍数K 对

8、于对于型或高于型或高于型的系统型的系统， ()() 12 11 lim Kss K + = L ()() 0 12 lim 11 p s K sT sT s + L 阶跃输入阶跃输入阶跃输入阶跃输入 0型系统型系统 1 e = 0型系统型系统 1 ss e K = + 型以上系统型以上系统 0 ss e = ss 静态速度误差系数静态速度误差系数：静态速度误差系数静态速度误差系数： ( ) 0 lim v s Ks G s = 对对0型系统型系统 ( ) ()() ()() 12 11 11 Kss Gs T sT s + = + L L()() 12 11T sT s+L ()() ()()

9、 12 0 12 11 lim 11 v s Kss Ks TsT s + = + L L 0= ()() 12 11TsT s+L ( ) ()() 12 11Kss G +L 对对I型系统型系统 ( ) ()() ()() 12 12 11 Gs TTsss = +L 对对 型系统型系统 ()()()() ()() 12 0 12 11 lim 11 v s Kss Ks s TsT s + = + L L K= ()() 12 11s TsT s+L ( ) ()() 12 11Kss Gs + = L 对对II型系统型系统( ) ()() 12 2 11s Gs T sT s = +L

10、 对对II型系统型系统 ()() ()() 12 2 11 lim v Kss Ks + = L = ()() 2 0 12 11 v s sTsT s +L 单位斜坡输入时，单位斜坡输入时， ( )( ) 2 00 1111 limlim 1 ss ss es G sssG sK = + 对对0型系统型系统 ( )( ) 00 1 ss v G sssG sK + 11 对对0型系统型系统 0 ss v e K = 11 对对I型系统型系统 11 ss v e KK = 对对II型型系系统统 1 0 ss e K = 系系 v K 静态加速度误差系数静态加速度误差系数：静态加速度误差系数静态

11、加速度误差系数： ( ) 2 0 lim a KsG s=( ) 0 a s ( ) ()() 12 11Kss+L 对对0型系统型系统 ( ) ()() ()() 12 12 11 11 Kss Gs T sT s + = + L L ()() 122 11 lim Kss Ks + = L 0= ()() 0 12 lim 11 a s Ks TsT s = +L 0= ( ) ()() 12 11Kss G +L 对对I型系统型系统 ( ) ()() ()() 12 12 11 Gs TTsss = +L 对对 型系统型系统 ()() ()() 122 0 11 lim 11 a s K

12、ss Ks s TsT s + = + L L 0= ()() 0 12 11 s s TsT s +L ()() 对对II型系统型系统 ( ) ()() ()() 1 12 2 2 11 11 K s ss Gs T sT s + = + L L()() 12 ()() 122 11 lim Kss Ks + = L K= ()() 2 0 12 lim 11 a s Ks sTsT s = +L K= 单位加速度输入时单位加速度输入时，单位加速度输入时单位加速度输入时， 32 1111 limlimes= ( )( ) 32 00 limlim 1 ss ss a es G sss G s

13、K + 11 对对0型系统型系统 11 0 ss v e K = 对对I型系统型系统 v 1 ss e K = 对对II型系统型系统 v K 11 e = 对对II型系统型系统 ss v e KK 系统类别单位阶跃单位斜坡单位加速度系统类别单位阶跃单位斜坡单位加速度 0型10型1 1K+ I型 1 K 0 II型 K 1 K 00 K 例：求系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入时例：求系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入时 的稳态误差的稳态误差 2( ) O Xs ( )Xs () 2 2 n n s s + ( ) O( ) I Xs I型系统，型系统， 0 ss e = 单位阶跃，单位阶跃， 11

14、2112 ss vn e KK = 单位斜坡，单位斜坡， ss e = 单位加速度，单位加速度， 6.3 Steady-State Errors caused by Disturbances ( ) caused by Disturbances ( )G( )G ( )s ( )N s ( ) O Xs ( ) 1 G s( ) 2 Gs ( ) I Xs ( )H s ( )Y s ( )( )G s H s ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 21 ( ) 1( ) G s H s sN s G s G s H s = + 根据终值定理根据终值定理干扰引起稳态偏差为干扰引起稳

15、态偏差为 ( )( )limlimtss= 根据终值定理根据终值定理，干扰引起稳态偏差为干扰引起稳态偏差为 则扰引起稳态差为则扰引起稳态差为 ( )( ) 0 limlim ss ts tss ss 求系稳态差应首判系稳性求系稳态差应首判系稳性 则则干干扰引起稳态扰引起稳态误误差为差为 ( )0 ss ss e H = 求系求系统统稳态稳态误误差应首差应首先先判判断断系系统统稳稳定定性性 。当求两个量同时作用时线性系统的偏差 当求两个量同时作用时线性系统的偏差当求两个量同时作用时线性系统的偏差当求两个量同时作用时线性系统的偏差 ，可利用，可利用叠加原理叠加原理，分别求出每个量作，分别求出每个量

16、作 用情况下的偏差，然后相加求出。用情况下的偏差，然后相加求出。 例例某系统如下图所示某系统如下图所示当当 ( )( )( )( )10 5 1x tttn tt= = 例例某系统如下图所示某系统如下图所示，当当 时作用时，值为多少？时作用时，值为多少？ ( )( )( )( )1,0.5 1 i x tttn tt ss e 10 1( ) s ( )N s ( ) O Xs 10 0.11s+() 1 4s s+ ( ) I Xs ( )s ( ) ( ) 解: 根据劳斯判据该系统稳定。解: 根据劳斯判据该系统稳定。 单位反馈系统的偏差即为误差单位反馈系统的偏差即为误差 ( )()() 1

17、 0.1141Essss+ = 单位反馈系统的偏差即为误差单位反馈系统的偏差即为误差。 ( ) () ()() 101 0.11410 1 0.114 i Xssss ss s + + + ( ) 2 1 i Xs s = ( )()() 1 40 11Ess ss +( ) ( ) () () () ()() 2 40.11 101 0.11410 1 0 114 Ess ss N ssss ss s + = + + +() ( ) 0.114 0.5 ss s N s s + = ( )( )( ) 12 s E sEsEs=+ ( )( ) 0 limesE s =( )( ) ( )(

18、 ) 0 12 0 lim s s s EsEs =+ ()() ()() 0 2 0.1141 lim s sss s + = ()() () 2 0 0.11410 0 110 5 s ssss s + +() ()() 0.110.5 0.11410 s ssss + + + 11 2 520 = 2.520 0.35= 一一般而言般而言，如果反馈控制系统对前向通道的扰如果反馈控制系统对前向通道的扰般而言般而言，如果反馈控制系统对前向通道的扰如果反馈控制系统对前向通道的扰 动是一个阶跃函数，则只要保证系统稳定的前提下，动是一个阶跃函数，则只要保证系统稳定的前提下， 在扰动作用点前有个积分

19、器在扰动作用点前有个积分器就可以消除阶跃扰就可以消除阶跃扰在扰动作用点前有在扰动作用点前有一一个积分器个积分器，就可以消除阶跃扰就可以消除阶跃扰 动引起的稳态误差。动引起的稳态误差。 如下图为稳定系统，如下图为稳定系统，G1(s)中不包含纯微分环节。中不包含纯微分环节。 n(t)a1(t)( )( ) ( ) a N s s = ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 12 1 1 o XsGs N s G s Gs H s = +( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 12 2 1G s Gs H s s sGs GGH + = ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 1

20、2 lim o ss sG s Gs H s Xs esN s N + = ( ) ( ) ( ) 0 2 lim ss s N s sGsa s = ( )( )( ) 0 12 lim 0 s s sG s Gs H ss + = 同理同理，如果反馈控制系统对前向通道的扰动是如果反馈控制系统对前向通道的扰动是一一同理同理如果反馈控制系统对前向通道的扰动是如果反馈控制系统对前向通道的扰动是 个斜坡函数，那么只要保证系统稳定的前提下，在扰个斜坡函数，那么只要保证系统稳定的前提下，在扰 动作用点前有二个积分器动作用点前有二个积分器就可以消除斜坡扰动引起就可以消除斜坡扰动引起动作用点前有二个积分器

21、动作用点前有二个积分器，就可以消除斜坡扰动引起就可以消除斜坡扰动引起 的稳态误差。的稳态误差。 如下图为稳定系统，如下图为稳定系统，G1(s)中不包含纯微分环节。中不包含纯微分环节。 n(t)at1(t)( )( ) ( ) 2 a N s s = ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 12 2 1 1 o XsGs N s G s Gs H s = +( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 12 2 2 2 2 s s Gs sG s Gs H s = +( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 12 0 lim o ss sG s Gs H s Xs esN s N +

22、 = ( ) ( ) ( ) 0 2 2 lim ss s N s s Gsa s = ( )( )( ) 22 0 12 lim 0 s s sG s Gs H ss + = 作为对比，如果将积分器作为对比，如果将积分器1s置于干扰点之后，置于干扰点之后， 如下图所示。如下图所示。 令令 (t)a1(t)， N(s)a/s( )( )( ) 当没有积分器当没有积分器1/时时, ( ) 1 1Es 当设置积分器当设置积分器1/时时, ( ) 1 1Es ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 Es N sG s = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 Es s N

23、ssG s G s s = + + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 EsN s G s a = + ( ) ( ) ( ) 2 1 EsN s sG s = + ( ) 1 1 a G ss a = + ( ) 1a sG ss = + ( ) ( )( ) 1 a sG s a = + ( ) a s sG s = + ( )( ) ( ) 11 0 lim 10 s a esEs G = + ( )( ) ( ) 22 0 lim 0 s a esEs G = 对比两种情况可以看出，将积分器对比两种情况可以看出，将积分器1s 置于干扰点之后对消除阶跃扰动置于干扰点之后对消除阶跃扰动

24、N引起的稳引起的稳置于干扰点之后对消除阶跃扰动置于干扰点之后对消除阶跃扰动N引起的稳引起的稳 态误差没有什么好处。态误差没有什么好处。 另外需要注意另外需要注意当扰动作用点在前向通道时通过当扰动作用点在前向通道时通过另外需要注意另外需要注意，当扰动作用点在前向通道时通过当扰动作用点在前向通道时通过 环节的调整可以减小其影响，例如前面提到的保证环节的调整可以减小其影响，例如前面提到的保证 系统稳定的前提下，在扰动作用点前设置积分器或 在扰动作用点前加大放大器增益，可使扰动影响减 系统稳定的前提下，在扰动作用点前设置积分器或 在扰动作用点前加大放大器增益，可使扰动影响减 小，但当扰动作用点在反馈通

25、道时，则很难使扰动 影响减小。 小，但当扰动作用点在反馈通道时，则很难使扰动 影响减小。 扰动作用点在前向通道扰动作用点在前向通道,扰动作用点在反馈通道扰动作用点在反馈通道, ( )1 o Xs = ( )( )( ) o XsKG s H s = ( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 1 N sKG s H s XN = + ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1N sKG s H s KG s H s XN = + ( ) ( )( ) ( ) 1 o XsN s KG s H s = + ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 o XsN s KG s H

26、s = + 因此，在扰动作用点前加大放大因此，在扰动作用点前加大放大 器增益器增益K可使扰动影响减小可使扰动影响减小在扰动在扰动器增益器增益K，可使扰动影响减小可使扰动影响减小；在扰动在扰动 作用点后加大放大器增益作用点后加大放大器增益K并不能使扰并不能使扰 动影响减小。动影响减小。 6.4 Approaches to Reducing System Error (1) 反馈通道反馈通道的精度对于减小系统误差至关重要的精度对于减小系统误差至关重要。 System Error (1) 反馈通道反馈通道的精度对于减小系统误差至关重要的精度对于减小系统误差至关重要。 反馈通道元部件的精度要高；反馈通

27、道元部件的精度要高； 避免在反馈通道引入干扰避免在反馈通道引入干扰避免在反馈通道引入干扰避免在反馈通道引入干扰。 (2) 在系统稳定的前提下在系统稳定的前提下(2) 在系统稳定的前提下在系统稳定的前提下， 对于输入引起的误差， ， 对于输入引起的误差， 增大系统开环放大倍数，提高系统型次增大系统开环放大倍数，提高系统型次； 对于干扰引起的误差对于干扰引起的误差，对于干扰引起的误差对于干扰引起的误差， 在前向通道在前向通道干扰点前加积分器干扰点前加积分器，增大放大增大放大 倍数倍数倍数倍数。 (3) 既要求稳态误差小既要求稳态误差小，又要求良好动态性能又要求良好动态性能，( ) 既要求稳态误差小

28、既要求稳态误差小又要求良好动态性能又要求良好动态性能 只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能同时只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能同时 满足要求时满足要求时可采用可采用复合控制复合控制（顺馈顺馈）方法对误方法对误满足要求时满足要求时，可采用可采用复合控制复合控制（顺馈顺馈）方法对误方法对误 差进行补偿。差进行补偿。 补偿的方式可分为补偿的方式可分为按干扰补偿按干扰补偿和和按输入补偿按输入补偿。 按干扰补偿按干扰补偿( ) N s ( )Gs ( ) 1 Gs( ) 2 Gs ( ) I Xs ( )E s ( ) ( ) O Xs ( ) n Gs ( ) 1 Gs( ) 2 Gs ( )

29、( )( )( )( ) 212on XsGsGs Gs Gs+ = ( )( )( )( )0=+sGsGsGsG ( )( )( ) 12 1N sGs Gs+ 令令 ( )( )( )( )0 212 =+sGsGsGsG n ( ) 1 Gs = 令令 ( ) ( ) 1 n Gs G s 按输入补偿按输入补偿 ( ) r Gs 按输入补偿按输入补偿 ( )G s ( ) I Xs ( )E s ( ) O Xs ( )G ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 OrI G s XsGsXs G s =+ +( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 r II GsG

30、s E sXsXs + = ( ) 1 G ( )( ) ( ) ( ) 1 II E sXsXs G s+ ( )( ) ( ) 1 r Gs G s ( ) ( ) r Gs G s = ( )( ) ( ) ( ) 1 r I Xs G s = + 6.5 Dynamic Error Coefficients 稳态误差相同的系统稳态误差相同的系统，误差随时间的变化未必相同误差随时间的变化未必相同。稳态误差相同的系统稳态误差相同的系统，误差随时间的变化未必相同误差随时间的变化未必相同。 误差随时间的变化误差随时间的变化动态误差动态误差 ( )( ) 12 100100 , 1101 GsG

31、s= + 静态位置、速度、加速度误差系数相同，稳态误差相静态位置、速度、加速度误差系数相同，稳态误差相等等； ( )( ) 1101ss+ 但由于但由于时间常数时间常数有差别有差别但由于但由于时间常数时间常数有差别有差别， 过渡过程过渡过程不同，误差随时间的变化不同。不同，误差随时间的变化不同。 对于单位反馈系统，输入引起的误差传递函数在对于单位反馈系统，输入引起的误差传递函数在s=0 的邻域展开成台劳级数，并近似地取到的邻域展开成台劳级数，并近似地取到n阶导数项，阶导数项， ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2 111 n E s 其具体求法可采用长除法其具体求法可采用长除

32、法。 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2 111 0000 12! nn eeeee i s ssss XsG sn =+ + L 其具体求法可采用长除法其具体求法可采用长除法。 ( )( )( ) ( ) 11 ei E ss Xs= ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( ) 2 11 0000 2! nn eieieiei XssXss Xss Xs n =+L ( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn eieieiei 11 e t 0 x t0 xt0 xt0 xt 2!n! 1111

33、=+ L ( )( )( ) ( ) ( ) n iiii 012n 1111 x txtxtxt =+L 定义上式中，定义上式中， 动态位置误差系数；动态位置误差系数； 动态速度误动态速度误差差系数系数； 0 1 动态速度误系数动态速度误系数； 动态加速度误差系数。动态加速度误差系数。 1 2 例例设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为例例设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) () 10 G s = 试求输试求输入入为为时时的的系系统统 ( ) ()1s s+ ( ) 2 012i x taa ta t=+ 试求输为试求输为时系时系 误差误差 ( ) 012i 解解： ( ) 1 解解 ( ) ( ) 1 1 e s G s = + 2 2 10 ss ss + = + + 23 10 0.10.090.019 ss sss + + =+L ( )( )( ) ( ) ( ) 3 0.10.090.019 iii e txtxtxt =+L () 122 0.120.09aa ta=+ ( )() 122 limlim0.120.09 ss tt ee taa ta =+